Combinatoire enumerative en interaction avec l'algebre, la theorie des nombres et la physique – COMBINE

La combinatoire énumérative est le domaine de la combinatoire qui vise à trouver le nombre de façons dont certains motifs peuvent être formés. Le problème de la découverte d’une formule d’énumération implique souvent de dériver une relation de récurrence ou une fonction génératrice, et de l’utiliser pour parvenir à la formule souhaitée. Lorsque la formule est compliquée, une simple approximation asymptotique peut être préférable.
Notre objectif est de développer des techniques générales en combinatoire énumérative.
afin d’attaquer et de résoudre des problèmes venant de la combinatoire, de l’algèbre, de la théorie des nombres et de la physique.
Un exemple récent est la preuve de la conjecture de Razumov - Stroganov
élaborée par Cantini et Sportiello. Ce problème est venu de la physique et a été résolu en utilisant de magnifiques
arguments combinatoires. Notre objectif est de continuer à construire la combinatoire énumérative en tant que domaine scientifique fort
grâce à notre approche interdisciplinaire. En particulier, lorsque nous utilisons des arguments combinatoires bijectifs, nous voulons comprendre la structure plus fine des objets, leurs symétries et leurs raffinements, afin de prouver des résultats importants dans d'autres domaines.

Nous avons accès à un large éventail de techniques. L'un des principaux outils de la combinatoire énumérative sont les fonctions génératrices.
Nous pouvons les étudier en utilisant leurs équations fonctionnelles pour comprendre leur nature:. Plusieurs outils venant de
la combinatoire asymptotique et analytique et le calcul formel peuvent
être utilisés pour résoudre ces problèmes. Nous pouvons également utiliser des techniques de la théorie des nombres pour
prouver des résultats de congruence. Venant des systèmes intégrables et de l’algèbre, nous maîtrisons de nombreuses techniques pour enrichir les modèles combinatoires de paramètres afin de rendre les preuves transparentes. Pour prouver des identités combinatoires, nous pouvons maintenant utiliser des techniques de calcul formel, mais également des méthodes * issues de séries hypergéométriques et de fonctions symétriques.
La nature innovante du projet est que nous sommes tous des combinatorialistes énumératifs mais que nous utilisons différentes techniques pour résoudre nos problèmes combinatoires. Nous prévoyons de travailler ensemble pour construire la combinatoire de l'avenir: un champ solide avec beaucoup de techniques profondes. Nous pensons que ce consortium, avec ses forces en énumération, physique, théorie des nombres et algèbre, constitue l’équipe idéale. Nous pensons que le moment est bien choisi pour ce projet, car la plupart du consortium est formé de chercheurs expérimentés et habilités.

Notre proposition s'articule autour de quatre thèmes principaux: intervalles des ordres partiels, combinatoire et mécanique statistique, combinatoire de cartes, marches et permutations, problèmes énumératifs issus de l'algèbre. Néanmoins, certaines questions sur les permutations sont liées à des objets combinatoires issus de la mécanique statistique, certaines questions à des intervalles de poset
proviennent de l’algèbre ... Ces quatre thèmes sont donc liés et intégrent des participants des trois sites de
la proposition.

Le consortium est interdisciplinaire et multisite. Le site parisien
est composé de: G. Chapuy (CR, IRIF), S. Corteel (PI, DR, IRIF),
E. Duchi (MDC, IRIF), E. Fusy (CR, LIX), M. Josuat-Vergès (CR, IGM),
J. Lovejoy (CR, IRIF) et A. Sportiello (CR, LIPN). Le site de Lyon est composé de R. Biagioli (MDC, ICJ), de J. Bouttier (CR, CEA), de F. Chapoton (DR, IRMA), de J. Dousse (CR, ICJ), de F. Jouhet (MDC, ICJ) et de P. Nadeau (PI , CR, CIJ).
Le site bordelais est composé de J-C. Aval (PI, CR, LABRI),
A. Boussicault (MDC, LABRI), Y. Le Borgne (CR, LABRI) et M. Bousquet-Mélou (DR, LABRI).
L'équipe est composée de 17 combinatoriciens qui sont des informaticiens (10), des mathématiciens (6) et des physiciens (1).