Moyennisation, approximation-diffusion en dimension infinie - théorie et approximation numérique – ADA

L’analyse multi-échelles théorique et numérique de problèmes aléatoires en dimension infinie est l’objet de ce projet de recherche. L’analyse multi-échelles des équations aux dérivées partielles recouvre de nombreux thèmes des mathématiques contemporaines. Les problèmes d’homogénéisation, de limites hydrodynamiques, de variété centrale, la construction de schémas numériques préservant l’asymptotique en relèvent. L’analyse de la même problématique dans le cadre des équations aux dérivées partielles stochastiques fait défaut par de nombreux aspects. Le but de ce projet est d’en développer la théorie (analyse et approximation numérique) à partir d’une variété de problèmes contemporains concernant les équations cinétiques et les équations dispersives. Dans les régimes que l'on considère, en particulier dans le régime diffusif (quicorrespond à l'approximation-diffusion, et conduit à des EDP stochastiques), les équations d'origine présentent des termes très singuliers. La dérivation d'équations réduites se heurte à des problèmes de compacité. C'est cette question en particulier que nous voulons résoudre à travers l'étude de problèmes de natures diverses :
- équations cinétiques collisionnelles avec un terme de force type Vlasov induit par (resp. un noyau de collision perturbé par) un champ markovien externe ou couplé (équations pour les plasmas, les fuides, resp. modélisation du déplacement par ``run-and-tumble'')
- influence de termes de force stochastiques sur les équations satisfaites par les paramètres macroscopiques des fluctuations dans les limites Boltzmann vers Navier-Stokes,
- équations cinétiques non-collisionnelles avec une force type traînée induite par un champ markovien externe ou couplé (modèles d'aérosols en fluide turbulent, modèles de Cucker-Smale stochastiques, amortissement Landau stochastique),
- équations dispersives pour la propagation d'ondes (système de Zakharov system, de Klein-Gordon-Zakharov system, équations de Schödinger non-linéaire stochastique).
L'approximation numérique de ces modèles pose les questions suivantes, que nous allons explorer. Tout d'abord la construction de schémas préservant l'asymptotique pour des équations dans lesquelles le petit paramètre affecte aussi bien les termes déterministes que stochastiques. Cela concerne l'approximation numérique des équations d'origine. L'approximation numérique des équations réduites, obtenues de manières théorique, pose le problème de l'évaluation des coefficients qui les composent. Nous déveloperons des méthodes HMM (Heterogeneous Multiscale Methods) à cet effet. De telles méthodes n'ont jamais été développées dans le contexte qui est le nôtre, en particulier pour des équations cinétiques ou dispersives. De nombreuses questions d'analyse numérique y sont associées. Dans ce registre, notre objectif est de d'analyser l'efficacité des schémas numériques dans l'approximation des mesures invariantes ou des auto-correlations, leurs ordres de convergence. Nous allons aussi développer des stratégies pour réduire le coût global de ces méthodes, comme des intégrateurs d'ordre élevé ou des méthode de réduction de variance pour les méthodes de Monte-Carlo.