Algèbres de Hecke et Applications: Représentations, Noeuds et Physique – AHA

Les algèbres de Hecke sont historiquement apparues dans la théorie des formes modulaires dans les années 30. Depuis, la dénomination "algèbres de Hecke" a été progressivement utilisée pour une large variété d'objets, apparaissant et étant grandement étudiés dans plusieurs branches des mathématiques. Les grandes classes d'exemples d'algèbres de Hecke qui nous intéressent spécialement pour ce projet sont:

- les centralisateurs (algèbres d'endomorphismes) de représentations induites;

- les déformations de groupes de Coxeter et de groupes de réflexions (complexes);

- les quotients d'algèbres de groupes de tresses (généralisés);

- les centralisateurs de produits tensoriels de représentations de groupes quantiques.

De manière remarquable, les grandes classes d'exemples ci-dessus ont beaucoup en commun et c'est la raison principale de l'importance des algèbres de Hecke dans les mathématiques modernes: elles peuvent être étudiées de plusieurs points de vue et elles ont des applications dans plusieurs domaines.

Le projet est centré sur l'étude des algèbres de Hecke et concerne leurs applications à/interactions avec différents domaines des
mathématiques et de la physique:

- la théorie des représentations de différentes sortes d'algèbres de Hecke (et certaines généralisations)

- la topologie de basse-dimension, principalement l'étude des groupes de tresses et des invariants de noeuds.

- la physique théorique des sytèmes intégrables et des modèles statistiques.

Un objectif principal de ce projet est d'étudier ces trois thèmes simultanément, en se concentrant notamment sur leurs interactions,
en considérant les algèbres de Hecke comme liens entre ces différents domaines. Nous souhaitons regrouper des spécialistes de différents thèmes liés aux algèbres de Hecke pour ainsi bénéficier de différentes approches et différents points de vue.
Le projet est multidisciplinaire et interdisciplinaire car nous projetons d'obtenir de nouveaux résultats dans chacune des différentes thématiques, et également de développer et/ou renforcer des interactions entre les thématiques, en particulier entre les mathématiques pures et la physique théorique.

Le projet est divisé en 6 projets de recherche, deux dans chaque thématique. Ces projets peuvent être réalisés indépendamment, mais le point principal du projet est qu'ils sont tous reliés les uns aux autres d'une certaine façon. Ainsi, des interactions vont naturellement avoir lieu entre les 3 thématiques. Les projets de recherche sont:

- Cristaux pour les algèbres de Hecke affines et catégorification

- Combinatoire et représentations des algèbres de Hecke

- Algèbres de Yokonuma--Hecke et invariants de noeuds

- Traces de Markov sur les quotients de groupes de tresses

- Algèbres de Baxterisation

- Théorie des champs conformes

Tous nos projets contiennent, au moins comme point de départ, des tâches qui reposent sur des travaux très récents, souvent par des membres du projets, et nécessitent pour être réalisées des méthodes avec lesquelles nous sommes déjà familiers, et qui se sont déjà montrées efficaces.
Ensuite, nos projets tendent progressivement vers des objectifs de plus en plus ambitieux, dans chaque thématique. Nos différents projets ont de nombreuses connections les uns aux autres, à travers le fait qu'ils sont concernés par des structures communes, les algèbres de Hecke et leurs généralisations, et également à travers le fait que chaque thématique apportera différentes méthodes et points de vue applicables aux autres. Ainsi, des interactions importantes vont naturellement avoir lieu entre les trois thématiques et les différentes tâches.