Analyse des effets géométriques sur les équations dispersives – ANADEL

De nombreux phénomènes physiques de type ondes sont modélisés par des équations aux dérivées partielles d’évolution. Dans ce projet je m’intéresse aux équations aux dérivées partielles (EDP) hyperboliques sur des variétés Riemanniennes avec (ou sans) bord, dont les solutions admettent des propriétés de propagation permettant une interprétation géométrique des questions posées. Je souhaite comprendre comment la géométrie, la régularité de la métrique et surtout la présence du bord peuvent influencer la dispersion et la concentration des solutions et quel type d’ondes peuvent saturer les estimations correspondantes. Il s’agit donc d’étudier les interactions entre ces différents paramètres et leur effet sur les solutions: l’influence du bord se manifeste par des trajectoires de rayons lumineux qui peuvent se réfléchir au bord et engendrer des caustiques en très grand nombre. Comprendre ces questions est fondamental, pour des questions liées à l’ergodicité quantique et à la localisation des fonctions propres du Laplacien, et également pour nombre d’applications au non-linéaire (les deux facettes se rejoignent quand on étudie la propagation dans une fibre optique?)

On commence par étudier des estimations de type L^p pour des fonctions propres, ainsi que des estimations de type dispersion / Strichartz en espace-temps, qui représentent des outils fondamentaux pour l’étude des problèmes non-linéaires. Pour obtenir des estimations de dispersion optimales dans des domaines compacts on doit d’abord comprendre les phénomènes de concentration des fonctions propres qui peuvent apparaitre près du bord. En effet, on peut envisager qu’une perte dans la dispersion est liée à la presence des caustiques, qui apparaissent lorsque des rayons optiques envoyés d’une même source (sous différents angles) cessent de diverger. D’autre part, pour montrer des estimations optimales des fonctions propres (ou projecteurs spectraux), il est indispensable de comprendre le rôle joué par la géométrie du bord dans la façon dont les rayons se réfléchissent et se re-concentrent. Je suis persuadée que mes résultats récents (avec mes collaborateurs) à l’intérieur ainsi qu’à l’extérieur d’un domaine convexe vont nous aider à avoir une vision claire et complète de la dispersion dans des domaines à bord.

La plupart des équations de type ondes (hyperboliques, Schrödinger, KdV et autres modèles dispersifs non-linéaires) issues de modèles physiques représentent des phénomènes dans un milieu qui n’est que rarement homogène, et encore moins souvent infini. Ce n’est que récemment que l’influence de la géométrie du milieu a fait son apparition, à travers l’étude en géométrie courbe, éventuellement compacte, peu régulière, des traditionnels modèles « jouet » non-linéaires. Les problématiques développées dans mon projet permettront de mieux comprendre les problématiques classiques, existence et unicité de solutions, et surtout leur asymptotique (explosion en temps fini, scattering), en lien avec la géométrie du milieu ambiant (type de bord, obstacles multiples, inter- faces?). Ces questions ont été extrêmement étudiées dans le cadre de l’équation des ondes linéaire (motivées par le développement des radars/sonars, mais aussi de la tomographie), suscitant d’importants développements d’analyse microlocale. Comprendre comment utiliser au mieux ces techniques, couplées à une analyse fine et adaptée aux questions non-linéaires des phénomènes de dispersion ou de focalisation, est une étape, parvenir à étendre à des contextes plus réalistes physiquement des outils spécifiquement non-linéaires mais mis au point dans le cadre rigide des modèles simples est une autre étape, l’une et l’autre nécessitant des développements concertés.