Feuilletages et géométrie algébrique – Foliage

Les participants de ce projet sont principalement unis par l'utilisation de la théorie des feuilletages holomorphes appliquée à diverses questions de géométrie algébrique. Trois grandes lignes structurent le projet: 1) Hyperbolicité 2) Géométrie analytique et birationnelle 3) Géométrie arithmétique. 1) Il s'agit d'étudier dans quelle mesure la positivité du fibré canonique d'une variété, ou plus généralement d'un feuilletage, influe sur l'existence de courbes entières, tangentes à ce feuilletage. En vue, il y a bien sûr les conjectures (difficiles et encore largement ouvertes) de type Bombieri-Lang, Vojta, Green-Griffiths (dans le cas où le fibré canonique est positif) qui prédisent la rareté des courbes entières ou des points rationnels, mais aussi des conjectures qui prédisent leur existence dans le cas où le fibré canonique est trivial. La dégénérescence des feuilles paraboliques des feuilletages sur les surfaces de type général et la description du lieu de Green-Griffiths, défini par les lieux de base des différentielles de jets, ont montré que l'utilisation des feuilletages holomorphes joue un rôle crucial. Le schéma de démonstration des preuves de dégénérescence algébrique des courbes entières requiert des informations précises étudiées dans le thème 2) – feuilletages dont le fibré canonique est positif. 2) Les variétés projectives complexes sont classées suivant les propriétés de positivité de leur fibré canonique. Des idées similaires ont commencé à être appliquées dans le contexte des feuilletages. Les feuilletages compatibles avec les propriétés numériques du fibré canonique sont d'un grand intérêt par exemple dans le problème de la conjecture d'abondance. En analogie avec le cas des variétés, on est naturellement amené à étudier trois géométries définies par le “signe” du fibré canonique du feuilletage. Ainsi, les briques de base des feuilletages sont (conjecturalement et très grossièrement) les feuilletages dont le fibré canonique est ample, trivial ou dont le fibré anticanonique est ample. La généralisation du programme du modèle minimal aux feuilletages algébriques est prometteuse avec déjà des résultats importants dans le cas des surfaces. 3) Il y a de nombreuses et fascinantes connexions conjecturales entre les propriétés d'intégrabilité algébrique des feuilletages définis sur les corps de nombres et leur comportement par réduction modulo p, ou la distribution des point algébriques de leurs feuilles complexes. Ces conjectures révèlent d'intrigantes connexions entre la théorie des feuilletages et plusieurs problèmes classiques de géométrie diophantienne et de théorie de la transcendence. Depuis une vingtaine d'années et la création de la géométrie d'Arakelov, les méthodes de transcendence ont été géométrisées et l'on peut maintenant envisager d'étudier des situations géométriquement plus complexes faisant intervenir des feuilletages holomorphes singuliers.