Géométrie quantique de Liouville et flots turbulents – Liouville

Ce projet de recherche est organisé autour de deux domaines à priori éloignés : la gravité quantique 2d et la turbulence 3d.

(1) Dans le domaine de la gravité quantique 2d, on s’intéresse à la géométrie des grandes cartes planaires. Depuis les débuts de cette théorie, l'invariance conforme a joué un rôle clé en physique théorique dans la construction de la gravité de Liouville. Du coté mathématique, l'invariance conforme est réapparue récemment dans le but de comprendre ces cartes planaires une fois plongées de façon conforme dans le plan. Une conjecture remarquable prédit que la géométrie induite par ces plongements conformes est décrite asymptotiquement par l'exponentielle d'une distribution hautement oscillante : le champ libre Gaussien plan. Un autre problème ouvert important du domaine est d'extraire une "métrique de Liouville" à partir de l'exponentielle de ce champ libre Gaussien. Le premier but majeur de notre projet est de progresser de façon significative vers la résolution de ces conjectures. Nous combinerons pour cela plusieurs outils tels que le chaos multiplicatif Gaussien, le mouvement Brownien de Liouville, les cartes planaires, les empilements de cercle, les processus QLE ainsi que les modèles de pièges de Bouchaud. Ce domaine de recherche est actuellement très actif à la fois en probabilités et en physique mathématique. Mener à bout le programme ci-dessus permettrait une compréhension rigoureuse de la célèbre relation KPZ en construisant une passerelle allant de la gravité quantique de Liouville vers la physique statistique euclidienne 2d.

2) Turbulence 3d. Une ambition plus réaliste que celle de résoudre l'équation de Navier-Stokes est de construire un modèle stochastique de champ de vitesse qui combinerait les principales propriétés/statistiques des champs de vitesses étudiés expérimentalement. Nous précisons le cadre mathématique en identifiant quatre axiomes qui devront être satisfaits. Il a été observé récemment que le chaos multiplicatif Gaussien, une fois généralisé au cas matriciel, pourrait être utilisé pour élaborer un tel champ de vitesse réaliste. L'extension du chaos multiplicatif au cas matriciel est motivée par l'étirement de la vorticité, l'un des mécanismes fondamentaux entrant en jeu dans la dynamique des équations de Navier-Stokes. Comme en gravité quantique 2d, la difficulté réside aussi dans le fait de définir rigoureusement l'exponentielle de distributions log-corrélées 3d (où plutôt de distributions à valeurs matricielles). Même si de nouvelles difficultés mathématiques apparaissent dans ce contexte, nous comptons accomplir ce programme à l'aide des techniques développées dans le cadre ci-dessus de la gravité quantique 2d. En cas de succès, nous construirions ainsi le premier modèle stochastique réaliste d'un flot turbulent dans l'esprit de ce que Kolmogorov espérait définir.

Ce projet regroupe plusieurs experts de haut niveau dans des domaines variés qui, tous ensemble, devraient nous permettre d'obtenir de nouveaux résultats ainsi qu'une meilleure appréhension de ces conjectures majeures.