Effets de Liquidité, contrôle des risques et EDSRs – LIQUIRISK

L'objectif principal de ce projet ANR est de proposer de nouvelles méthodes de contrôle des risques prenant en particulier en compte les effets de liquidité. D'un point de vue mathématique, cette étude porte sur les thématiques suivantes: statistique des processus, finance mathématique, contrôle optimal stochastique singulier sous contrainte, EDPs paraboliques du second ordre fortement non linéaires,régularité et approximation numérique d'équations différentielles stochastiques rétrogrades (EDSR). Le projet se décompose en trois tâches interconnectées, qui portent respectivement sur les problématiques de couverture optimale en présence d’effets de liquidité, la caractérisation de stratégie optimale d’allocation d’actifs sous contraintes de risque et enfin la représentation et approximation numérique de ces problèmes à l’aides d’EDSRs.

La première tâche est dédiée à la couverture de risques en présences de frictions telles que les modifications exogènes de liquidité, l'impact des stratégies d'investissement sur les prix des actifs ou la présence des carnets d'ordre. L'étude sera à la fois théorique (absence d'opportunités d'arbitrage, existence de stratégies d'investissement optimales) et pratique (estimation des paramètres, résolution numérique via EDP ou EDSR).

Dans la deuxième tâche, nous étudions l‘influence de nouvelles contraintes prudentielles de contrôle des risques sur les stratégies optimales de gestion d’actifs. D'un point de vue mathématique, nous serons amenés à considérer des problèmes de contrôle non standards, qui s’interprètent sous forme de cible stochastique couplée à une nouvelle forme de contraintes d'état. Ils se représentent par des EDPs paraboliques non linéaires du second ordre, dont nous étudierons les propriétés (principe de comparaison, convergence de schémas numériques, etc.). Une fois ces problèmes de contrôles bien appréhendés, nous tenterons d’y incorporer des effets de liquidité développés dans la tâche précédente.

Afin de proposer une alternative probabiliste à la résolution des problèmes de contrôle associés aux projets précédents, nous étendrons la classe des EDSRs, en leur ajoutant des délais, un manque de régularité ou de nouvelles contraintes. L'introduction de nouvelles méthodes de Monte Carlo non linéaires (schémas d’ordre supérieur, approximation de compensateur) permet alors une résolution numérique efficace de ces problèmes, en particulier en grande dimension. Contrairement à l'approche déterministe par EDP, ce type de représentation peut se vérifier dans un cadre non Markovien.

En résumé, nous nous concentrons tout d'abord sur l’incorporation d’effets de liquidité pour la couverture d’actifs financiers et nous étudions l’effet de mesures de contrôle des risques sur les stratégies de gestion d’actifs. Ces deux problématiques de recherche nous conduisent à étudier et formaliser des problèmes singuliers de contrôle optimal stochastique. Une approche probabiliste alternative via EDSR est finalement obtenue, et la convergence des schémas numériques d'approximation associés est étudiée.

Tous les problèmes mathématiques seront considérés un cadre d'étude le plus général possible, et la combinaison des résultats obtenus dans les différentes parties se fera pour l'étude de problèmes spécifiques et réaliste de finance mathématique.