Méthodes différentielles de résolution des singularités et applications à la géométrie algébrique et différentielle – DiffeRS

Une singularité d’un objet géométrique, tel qu’une équation, une variété, un feuilletage, un morphisme, etc., est, en termes généraux, un point présentant un comportement local non trivial. En géométrie, analyse, algèbre, physique, et dans d’autres sciences, leur apparition est inévitable. La résolution des singularités est l’une des techniques les plus efficaces pour étudier les points singuliers d’une équation algébrique. On peut affirmer que la preuve de Hironaka de l’existence de la résolution des singularités pour les variétés algébriques sur un corps de caractéristique zéro demeure l’un des plus grands accomplissements de la géométrie algébrique au siècle dernier.

Étendre la technique de résolution des singularités à des objets d’intérêt pour la géométrie différentielle et les systèmes dynamiques, tels que les feuilletages, les formes différentielles et les métriques, intrigue les mathématiciens depuis le XIX? siècle. Des applications spectaculaires sont attendues, notamment en géométrie riemannienne, géométrie lipschitzienne, géométrie sous-riemannienne, analyse globale, géométrie birationnelle, entre autres. Cependant, la géométrie des feuilletages implique des phénomènes transcendants, et seuls des résultats en basse dimension sont connus. Cela limite sérieusement le potentiel des applications.

La recherche proposée abordera la résolution des singularités des feuilletages et des formes différentielles sous un angle nouveau, en mobilisant des méthodes de géométrie différentielle qui n’ont pas encore été exploitées dans ce contexte. À cette fin, nos principaux objectifs seront de développer des méthodes de résolution des singularités qui englobent des exemples clés en géométrie lipschitzienne et riemannienne, et de combiner les connaissances acquises avec des méthodes nouvellement développées en géométrie birationnelle pour produire une approche systématique de la résolution des singularités des feuilletages et des formes différentielles en dimensions arbitraires, ainsi que de leurs applications en géométrie algébrique et différentielle. Je crois que mes travaux préliminaires dans cette direction démontrent amplement la faisabilité et le potentiel de cette approche.