Contrôle quantique et d'ensemble en temps petit – QUEST

Plusieurs systèmes quantiques d'intérêt physique, dont l'évolution est gouvernée par des EDP bilinéaires de type Schrödinger, sont connus pour être contrôlables en temps long. Néanmoins, il existe des exemples qui sont contrôlables en temps long, mais pas en temps petit. L'optimalité temporelle représente un défi pour le contrôle quantique, à la fois d'un point de vue fondamental et pour la mise en œuvre pratique de la théorie du contrôle dans la technologie quantique. Récemment, en utilisant des méthodes de contrôle géométrique comme la contrôlabilité des groupes des diffeomorphismes, nous avons pu fournir les premiers exemples d'EDP de type Schrödinger ou ondes bilinéaires qui sont contrôlables en temps arbitrairement petits. Ces exemples sont posés sur les espaces euclidiens (par exemple l'oscillateur harmonique quantique), et sur les tores (par exemple le molecules rigides en rotation, ou les atoms froid piégés dans des réseaux optiques périodiques). L'objectif général de ce projet est de faire progresser la compréhension de ces méthodes de contrôle géométrique afin d'obtenir de nouveaux résultats de contrôlabilité pour les EDP bilinéaires. La nature du projet est donc double : du point de vue de la méthodologie, nous visons à développer de nouvelles méthodes de la théorie du contrôle géométrique en dimensions infinies ; du point de vue des résultats, nous nous attendons à prouver de nouvelles propriétés de contrôlabilité approchée globale en temps court pour plusieurs modèles d'EDP physiquement intéressants. Plus précisément, le projet est divisé en trois parties :

1) Généricité et propriétés de régularité supérieure de la contrôlabilité approchée en petit temps des EDP bilinéaires ; cette étude est principalement consacrée aux équations de Schrödinger posées sur des variétés compactes, décrivant des systèmes quantiques physiquement intéressants, bien qu'elle ait également des conséquences directes pour d'autres EDP telles que les équations de Liouville et l'équation des ondes.

2) Relation entre la contrôlabilité approchée des EDP et la contrôlabilité des groupes de difféomorphismes ; les difféomorphismes, les simplectomorphismes et les flots hamiltoniens apparaissent naturellement dans l'étude des équations de Schrödinger et de Liouville, et décrivent la dynamique des ensembles continus de particules à travers le transport des densités.

3) L'interaction entre la contrôlabilité approchée en temps petit et la vitesse de propagation finie dans l'équations des ondes ; les conditions nécessaires et suffisantes sur les états initiaux (pour la contrôlabilité approchée en temps petit) peuvent capturer cette caractéristique qui est typique des ondes et des équations de Maxwell.

Le principal aspect innovant du programme scientifique réside donc dans le développement de nouvelles méthodes de contrôle géométrique, telles que le forçage des modes faibles et la contrôlabilité des groupes de difféomorphismes, et leur application à des problèmes de contrôle non linéaires en dimension infinie.
L'importance des résultats attendus réside dans la capacité d'obtenir de nouvelles propriétés de contrôlabilité approchée en temps petit de plusieurs modèles d'EDP bilinéaires : de tels résultats étaient hors de portée avec les techniques précédentes, et sont très demandés dans les applications.