Barycentres de Wasserstein généralisés pour la discrétisation de flots de gradient – BARYFLOW

Les barycentres de Wasserstein sont un outil puissant pour analyser des données complexes représentées par des mesures de probabilité. Ils permettent l'interpolation de différents types d'objets, tels que des images, des textes ou des distributions de quantités physiques, tout en tenant compte de leur structure géométrique globale. Cependant, dans de nombreuses applications, y compris pour des tâches de régression statistique ou la conception de modèles d’ordre réduit, l'interpolation seule n'est pas suffisante, car il est souvent nécessaire d'extrapoler à partir des informations disponibles. Pourtant, il n'existe actuellement aucune méthode computationnelle d'extrapolation de données pleinement compatible avec la géométrie de l’espace de Wasserstein. Ce projet vise à combler cette lacune en développant un cadre pour l'analyse et le calcul numérique des barycentres de Wasserstein avec des poids négatifs. Notre approche repose sur une connexion récemment découverte entre ces problèmes et la théorie du transport optimal faible, qui permet de contourner leur non-convexité inhérente.

Nous exploiterons ce cadre pour trois applications principales. Tout d'abord, nous développerons des outils computationnels pour la régression dans l’espace de Wasserstein, qui étendent les techniques de régression linéaire classiques aux données de type mesure. Ensuite, nous visons à améliorer les méthodes de calcul des barycentres de Wasserstein à poids positifs, en intégrant les problèmes d'extrapolation comme une forme de régularisation, afin d'éviter les solutions diffuses qui résultent des méthodes de régularisation classiques basées sur l'entropie.

Enfin, nous utiliserons les barycentres de Wasserstein avec poids négatifs pour construire des discrétisations particulaires de flots de gradient Wasserstein de haute précision. Ces systèmes décrivent l'évolution d'une mesure suivant la direction de décroissance maximale d'une énergie selon une métrique de transport optimal. Ils permettent de décrire de nombreux phénomènes physiques et offrent un cadre théorique unificateur pour une large gamme de processus dissipatifs. Plus récemment, ils se sont également imposés comme des outils essentiels en statistique, facilitant le développement de méthodes d’échantillonnage et d’inférence plus efficaces. Nous utiliserons notre cadre pour généraliser les techniques classiques d'intégration numérique afin de les appliquer aux flots de gradient Wasserstein et concevoir des méthodes particulaires de haute précision pour leur simulation. Nous explorerons l'utilisation de telles méthodes tant pour la simulation de systèmes physiques que pour l'accélération des techniques d'inférence variationnelle basées sur des particules.