Nouvelles connexions entre l'analyse harmonique et le bootstrap conforme – HARMONICON

L'étude des propriétés spectrales des espaces localement symétriques, en particulier des variétés hyperboliques, constitue un objectif central de l'analyse harmonique abstraite, avec des implications considérables dans l'ensemble des mathématiques. Malgré la diversité des outils employés pour établir des estimations spectrales dans ce contexte, les résultats conjecturaux optimaux restent inaccessibles.

Dans un domaine apparemment sans rapport, le bootstrap conforme a émergé comme une méthode puissante de la physique mathématique, utilisée pour élucider les théories conformes des champs (CFT) en toute dimension. Cependant, cette méthode éclaire peu le problème de la construction des CFT en dimensions supérieures. De plus, elle est inefficace dans les CFT non-unitaires, dont beaucoup présentent un grand intérêt mathématique.

Récemment, le chercheur principal a découvert des connexions surprenantes entre l'analyse harmonique et le bootstrap conforme. Cette convergence a déjà permis d'établir de nouvelles bornes rigoureuses et presque précises sur les spectres des variétés hyperboliques tout en fournissant un contexte plus large pour la solution révolutionnaire de Viazovska au problème de l'empilement de sphères.

L'objectif du programme proposé est d'étendre de manière significative l'interaction émergente entre l'analyse harmonique et la théorie conforme des champs en dimension générale et de l'utiliser pour réaliser des avancées quantitatives des deux côtés de la correspondance.

Premièrement, j'appliquerai les méthodes du bootstrap conforme pour établir de nouvelles estimations sur les données spectrales des espaces localement symétriques. Dans les cas arithmétiques, cette approche améliorera les bornes actuelles sur les fonctions L correspondantes.

Deuxièmement, je formulerai rigoureusement la théorie conforme des champs en dimensions supérieures dans le cadre de l'analyse harmonique abstraite. Une notion de positivité, précédemment négligée, qui émerge dans la nouvelle formulation, me permettra d'étendre le bootstrap conforme aux CFT non-unitaires et ainsi d'établir de nouvelles estimations sur leurs exposants de dimension.