Analyse Discrete et Géométrie Quantitative – DiAnQuGe

Ce projet se situe à l'intersection de l'analyse, de la géométrie et de la théorie des probabilités. DiAnQuGe vise à découvrir des propriétés quantitatives d'objets géométriques en utilisant des techniques de l'analyse fonctionnelle, de l'analyse harmonique et des probabilités. Plus précisément, il se consacre aux questions suivantes :

Dans quelle mesure un espace métrique donné se plonge-t-il dans un espace de Banach ou un espace avec des bornes de courbure ?
Dans la section 1, je propose d'étudier l'(in)compatibilité des géométries des métriques finies, y compris les objets de type expanseurs et les boules des groupes de Carnot, avec les espaces d'Alexandrov à courbure bornée. Basé sur une analogie bien établie avec la théorie des espaces de Banach non linéaires, ceci nécessitera le développement d'invariants métriques appropriés, formant ainsi un lien avec l'analyse discrète. Dans une direction connexe, je propose une manière systématique de développer de tels invariants pour les espaces normés, qui servira d'implémentation catégorique du programme de Ribe proposé par Bourgain.

Quelle est la corrélation entre le spectre d'un système de vote et le comportement des électeurs individuels ?
Les systèmes de vote sont modélisés mathématiquement par des fonctions définies sur les sommets d'un hypercube dans l'espace euclidien. Dans la section 2, je propose d'utiliser les apports de l'analyse de Fourier, de la théorie de l'approximation et de l'analyse stochastique pour mieux comprendre l'interaction entre le spectre et les influences des fonctions booléennes, ainsi que les applications en informatique.

À quoi ressemble un ensemble convexe de haute dimension ?
Dans la section 3, je propose d'étudier les comportements aigus des profils isopérimétriques des ensembles convexes en utilisant un mélange de techniques géométriques et probabilistes, avec une nouvelle composante du calcul des variations.

Malgré les origines différentes de ces questions, tous les objets susmentionnés partagent la caractéristique commune d'avoir une dimension grande et pourtant finie, dans un sens approprié. Cette caractéristique commune permet de transférer l'intuition et les techniques d'un domaine à l'autre et a été la force motrice de nombreuses avancées récentes.