Stabilisation des équations aux dérivées partielles non-linéaires: théorie et méthodes – StarPDE

Agir pour améliorer le monde qui nous entoure est un aspect intrinsèque des activités humaines dans de nombreuses sciences. Une approche mathématique pour ce faire consiste à considérer le monde comme un système régi par des équations différentielles (ordinaires, partielles ou stochastiques) et à comprendre comment agir sur ce système pour atteindre l'état souhaité. C'est l'essence même de la théorie du contrôle. Dans ce contexte, l'une des questions les plus pratiques est le problème de la stabilisation : comment peut-on agir sur le système pour atteindre et maintenir un état ou une trajectoire désirée qui, sans action de notre part, est naturellement instable ?

La principale caractéristique de la stabilisation est que le contrôle - c'est-à-dire le moyen d'influencer le système - dépend de l'état du système. C'est à la fois l'une de ses principales forces et l'un de ses principaux défis, car il en résulte une boucle de rétroaction qui peut entraîner des difficultés, ne serait-ce que pour s'assurer que le problème est bien posé. Alors que de nombreuses méthodes génériques ont été développées avec succès pour traiter ce problème lorsqu'il s'agit de systèmes régis par des équations différentielles ordinaires, la stabilisation des systèmes impliquant des équations différentielles partielles (EDP) reste particulièrement complexe, en particulier pour les systèmes non linéaires.

L'objectif de cette proposition est de développer de nouvelles approches mathématiques pour s'attaquer à ces limitations, en se concentrant spécifiquement sur les trois défis suivants :

1. Le problème de stabilisation générale pour les EDP : trouver des lois de rétroaction génériques explicites et quantitatives dans des cadres difficiles, en s'appuyant sur une nouvelle méthode, appelée « backstepping » généralisé.

2. La stabilisation des systèmes densité-vélocité - une des classes les plus riches de systèmes hyperboliques - avec seulement des mesures locales. Ceci a de nombreuses applications en mécanique des fluides et en circulation routière.

3. La conception de techniques d'intelligence artificielle, basées en particulier sur l'apprentissage par renforcement et les modèles génératifs, pour aider les mathématiciens à résoudre des problèmes ouverts dans le domaine de la stabilisation, soit en fournissant des informations solides, soit en prédisant une solution candidate.