Adaptivité robuste pour des équations aux dérivées partielles non linéaires – RANPDEs

Les EDP (équations aux dérivées partielles) sont omniprésentes dans la modélisation de problèmes du monde réel. La solution exacte d'une telle équation ne peut presque jamais être donnée sous forme explicite, de sorte que de schémas numériques sont nécessaires pour au moins l'approcher. L'objectif ultime d'un tel schéma numérique est de calculer une approximation discrète avec une erreur inférieure à une certaine tolérance souhaitée, pour un coût de calcul minimal.

À cette fin, il est nécessaire de quantifier avec précision l'erreur globale et d'identifier ses différentes composantes. La première composante essentielle est l'erreur de discrétisation, qui découle de l'approximation de la solution recherchée de l'EDP par des fonctions dans un espace à dimension finie, généralement des polynômes par morceaux d'un certain degré sur un certain maillage du domaine considéré. Pour réduire cette composante de l'erreur, il est possible d'enrichir l'espace utilisé, par exemple en raffinant le maillage. Alors qu'il peut suffire de raffiner uniformément le maillage actuel dans le cas d'une solution lisse, les singularités doivent être résolues localement dans le cas d'une solution non lisse afin de garantir un coût de calcul minimal du système. Les discrétisations d'EDP non linéaires conduisent naturellement à des systèmes discrets non linéaires, qui ne peuvent pas être résolus exactement et doivent donc être linéarisés (itérativement). Il en résulte la deuxième composante essentielle de l'erreur, l'erreur de linéarisation, qui peut être réduite en appliquant un pas supplémentaire du solveur de linéarisation itératif utilisé. Enfin, même les solutions des systèmes discrets linéarisés ne peuvent être calculées qu'approximativement, car leur calcul exact (modulo les erreurs d'arrondi) par un solveur direct serait d'un coût prohibitif. La troisième composante d'erreur essentielle correspondante, l'erreur algébrique, peut être typiquement réduite en appliquant un pas supplémentaire du solveur algébrique itératif employé. D'autres composantes d'erreur peuvent être présentes, telles que l'erreur de quadrature numérique ou l'erreur d'arrondi, mais elles seront négligées ici.

Pour atteindre l'objectif ultime visé, il est crucial d'équilibrer toutes les composantes d'erreur impliquées. Étant donné qu'aucune de ces composantes d'erreur n'est calculable exactement et/ou de manière peu coûteuse, un algorithme numérique pratique doit donc les estimer avec précision, puis équilibrer les estimateurs d'erreur calculables a posteriori correspondants. Notre projet de recherche propose de nouveaux algorithmes adaptatifs en discrétisation/linéarisation/résolution algébrique linéaire, avec des estimations d'erreur garanties et robustes (de même qualité pour tout degré de polynôme et taille de non linéarité) et des preuves de convergence, contraction, optimalité par rapport au degrés de liberté et optimalité par rapport au coût total de la simulation numérique, pour plusieurs types de problèmes non linéaires modèles importants.