Méthode structurelle – Application à des systèmes hyperboliques généraux – SMEAGOL

Au cours de ces dernières années, la méthode structurelle a permis de construire des méthodes numériques d'ordre élevé pour l'approximation d'équations aux dérivées partielles (EDP) sur des stencils compacts. Une particularité de cette méthode aux différences finies est qu'elle approche non seulement la solution de l'EDP à l'ordre élevé, mais aussi ses dérivées. Elle repose sur la définition de deux jeux indépendants d'équations discrètes, les équations physiques et les équations structurelles. Les équations physiques décrivent la physique du problème, c'est-à-dire l'EDP sous-jacente. Ainsi, les problèmes contenant certaines contraintes (par exemple, le fait qu'un champ de vecteurs soit à divergence nulle) sont traités en ajoutant ou en modifiant une équation physique. Les équations structurelles, quand à elles, sont responsables de l'ordre de la discrétisation, et leur modification permet donc de traiter des solutions non régulières, ou d'améliorer l'ordre de la méthode sur des solutions régulirèes. L'objectif principal de ce projet est d'étendre la méthode structurelle à l'approximation des systèmes hyperboliques de lois de conservation avec termes sources, au moins en deux dimensions d'espace. Dans ces problèmes, des conditions initiales régulières peuvent générer des solutions discontinues en temps fini, et des changements de régime multi-échelles sont fréquents. Ces EDP décrivent des applications, par exemple, en mécanique des fluides ou en électromagnétisme. La méthode structurelle, bien qu'étant un schéma aux différences finies général, est particulièrement bien adaptée à de telles applications. En effet, la séparation entre la physique et la discrétisation fournit un cadre naturel pour construire une méthode numérique où il est possible d'activer ou de désactiver les équations physiques et/ou structurelles localement et à la volée, en fonction de la situation. SMEAGOL a donc deux sous-objectifs : la construction et l'adaptation de la méthode structurelle.