Méthodes semiclassiques analytiques pour la théorie spectrale des opérateurs de Berezin--Toeplitz non-auto-adjoints – STENTOR

L'étude des valeurs propres et vecteurs propres de matrices ou opérateurs non-auto-adjoints est plus délicate que dans le cas auto-adjoint, pour des raisons d'instabilité des valeurs propres. Pour autant, cette étude est cruciale dans le cadre des équations aux dérivées partielles linéaires, où elle permet d'obtenir des résultats de stabilité et/ou contrôle des solutions, notamment pour l'étude des résonances.

À l'heure actuelle, les résultats les plus précis sur l'asymptotique des valeurs propres utilisent l'inteprétation comme opérateurs de Berezin--Toeplitz (notamment via
des noyaux de Bergman généralisés) mais ne sont valables que localement, loin des zones critiques, et au voisinage du lieu réel (ou pour des petites perturbations d'opérateurs auto-adjoints). Ces résultats sont valides sous des hypothèses de complète intégrabilité de la dynamique classique et d'analyticité du problème.

Depuis très récemment, on dispose de résultats généraux concernant les opérateurs de Berezin--Toeplitz en régularité analytique, développés notamment par le coordinateur.

En utilisant cette boîte à outils, nous proposons une étude systématique et globale du spectre des opérateurs de Berezin--Toeplitz non-auto-adjoints 1D.
Nous allons utiliser pleinement les aspects géométriques, et notamment développer le lien avec l'espace de configurations des structures Kähleriennes (espaces de Mabuchi) : des équations de Monge-Ampère complexes gouvernent, et sont ``quantifiées'' par, ces opérateurs non-auto-adjoints. Ces équations sont sujettes à la formation de singularités en temps fini, et nous cherchons à établir le lien entre le temps d'existence et la taille maximale de la déformation non-auto-adjointe pour laquelle on peut décrire le spectre.

Les liens avec Monge-Ampère dépassent le cadre des dynamiques intégrables, et nous allons également développer des outils généraux pour comprendre les dynamiques non-auto-adjointes, avec des applications à l'observabilité.