Contrôle Bilinéaire Quantique avec spectre continu – QuBiCCS

L'objectif du projet est d'analyser les propriétés des équations de Schrödinger linéaires et non linéaires, ainsi que des équations d'ondes, soumises à un contrôle bilinéaire, en particulier lorsque l'opérateur de dérive présente un spectre continu et même un spectre ponctuel plongé. Le projet prendra en considération quatre aspects différents.

Tout d'abord, nous proposons de réexaminer l'approximation par des problèmes de contrôle linéaire. Nous souhaitons aussi étendre les méthodes de stabilisation rapide du cas linéaire au cas bilinéaire.

Deuxièmement, nous examinerons la contrôlabilité à l'aide de méthodes de moyennisation en présence de spectre continu en exploitant des théorèmes de type RAGE. Nous examinerons également le temps optimal pour la contrôlabilité approchée des modes propres plongés.

Troisièmement, nous souhaitons étendre les méthodes de contrôle géométrique en dimension finie au cas de la dimension infinie, par exemple à travers l'utilisation de produits de Lie-Trotter-Kato. Nous examinerons également l'adaptation des méthodes de saturation aux problèmes hyperboliques (équation d'ondes) et paraboliques (équation de la chaleur).

Quatrièmement, nous souhaitons étendre l'analyse des propriétés dispersives aux perturbations des opérateurs de Schrödinger afin d'analyser la contrôlabilité des équations non linéaires. Nous souhaitons appliquer la méthode de Mourre à la place des méthodes du viriel pour éviter certaines hypothèses techniques. Nous établirons également des principes d'absorption limite directement à partir de l'exclusion des résonances plongées.

Ainsi, ce projet se situe à l'interface de la théorie spectrale, de la théorie des opérateurs, de la théorie du contrôle géométrique et de l'analyse des EDP dispersives.