Définitions axiomatiques – AXDEF

La relation entre les axiomes et les définitions a été un tournant clé dans la transformation contemporaine de la logique, des mathématiques et de la science, à la suite du développement de l'axiomatique moderne. On dit souvent que les définitions ne jouent aucun rôle dans les systèmes axiomatiques, si ce n'est celui d'abréviations. Les axiomes sont souvent considérés comme des définitions implicites ou des caractérisations des termes primitifs qui apparaissent dans les axiomes. Le projet aborde l'étude des définitions axiomatiques de deux points de vue complémentaires : historique et théorique. Les principaux objectifs seront respectivement 1) d'étudier l'origine de la notion de définitions axiomatiques, et 2) de classer les définitions axiomatiques et d'étudier le type de problèmes auxquels elles sont appliquées en logique et en philosophie des mathématiques.
L'enquête historique est basée sur l'hypothèse générale de recherche selon laquelle les définitions, ainsi qu'un éventail plus large de facteurs, ont contribué à la transformation de l'axiomatique en une étude des systèmes hypothético-déductifs. Cette hypothèse sera testée en vérifiant trois affirmations plus spécifiques : 1) la croyance selon laquelle les axiomes servent à définir ou à caractériser les entités mathématiques n'est pas apparue brusquement au XIXe siècle, mais est le résultat de débats complexes sur la distinction entre axiomes et définitions et sur le rôle de la déduction, qui remontent au moins à l'époque moderne ; 2) il n'y a pas de sens unique dans lequel les axiomes peuvent être considérés comme des définitions implicites dans les débats des mathématiciens et logiciens des 19e et 20e siècles ; 3) plusieurs critères d'adéquation des définitions ont été discutés dans l'histoire de l'axiomatique, et il n'y a pas de théorie unique qui ait recueilli un consensus général.
L'enquête théorique est basée sur l'hypothèse de recherche générale selon laquelle une compréhension plus rigoureuse du rôle joué par les définitions axiomatiques contribuerait fortement à une meilleure compréhension de plusieurs débats contemporains en philosophie de la logique, en mathématiques et en philosophie des sciences. Deux hypothèses de recherche spécifiques guideront cette partie du travail : 1) les définitions peuvent jouer un rôle à la fois inférentiel et sémantique ; 2) les définitions axiomatiques sont philosophiquement cruciales pour comprendre le débat contemporain sur la prouvabilité formelle et informelle.
Les difficultés rencontrées dans les recherches sur le thème des définitions sont leur omniprésence, leur ambiguïté et leur technicité dans les présentations axiomatiques, ce qui explique leur manque de traitement systématique. Ces difficultés seront abordées et résolues grâce à la création d'un large consortium de philosophes, logiciens et mathématiciens ayant une expertise dans l'étude de l'histoire des sciences mais aussi dans les développements plus formels de la logique contemporaine.
Les résultats attendus comprennent l'évaluation du rôle des définitions dans le développement de l'axiomatique hypothético-déductive ; une histoire détaillée de la relation entre axiomes et définitions en logique et en mathématiques de la Renaissance au début du 20ème siècle ; une classification des définitions apparaissant dans les présentations axiomatiques ; une meilleure compréhension de la relation entre définitions et déduction ; et une analyse des rôles épistémiques joués par les définitions dans la prouvabilité formelle et informelle. La valeur ajoutée du projet réside dans l'effort d'offrir un premier traitement historique et théorique systématique des définitions axiomatiques. Le projet apportera de nouvelles connaissances à la fois sur le rôle qu’elles ont joué dans l'histoire de l'axiomatique et sur les rôles épistémiques qu'elles jouent dans la philosophie contemporaine.