Méthodes mathématiques pour les problèmes en grande dimension issus des systèmes d'agents ou de particules – HighLEAP

Les systèmes de particules ou d'agents en interaction sont omniprésents dans de nombreux domaines scientifiques. Ils apparaissent dans une très vaste variété de champs d'applications comme les sciences des matériaux, la biologie, l'économie et les sciences sociales. De nombreux modèles mathématiques existent pour modéliser l'évolution de ces systèmes à différentes échelles: équations différentielles stochastiques et problèmes de transport optimal (modèles microscopiques), équations cinétiques (modèles mésoscopiques) ou modèles à champs moyens comme les systèmes de jeux à champs moyens (modèles macroscopiques). Cependant, tous ces modèles souffrent de limitations sévères quant à la simulation de problèmes en grande dimension, la grande dimensionalité venant soit du grand nombre de particules ou d'agents présents dans le système, soit du grand nombre de paramètres entrant dans la définition des modèles, soit du grand nombre de caractéristiques nécessaires pour décrire l'état de chaque agent ou particule.
L'objectif de ce projet est de fournir un nouveau cadre mathématique pour le développement et l'analyse de méthodes numériques efficaces et précises pour la simulation de systèmes de particules ou d'agents de grande dimension, issus d'applications en sciences des matériaux et en théorie des jeux stochastiques.
Les principaux défis qui seront abordés dans ce projet sont:
(1) les problèmes d'optimisation parcimonieux pour les problèmes de transport optimal multimarginales, en utilisant des contraintes de moments;
(2) l'approximation efficace d'équations différentielles stochastiques paramétrées, via des approches de réduction de modèles;
(3) la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles en grande dimension, en utilisant des méthodes d'apprentissage profond certifiées.
Les impacts potentiels de ce projet sont immenses: rendre possible de telles simulations à grande échelle permettra d'obtenir des informations précieuses sur la prédictabilité des modèles considérés pour les systèmes de particules et d'agents, dans des champs d'applications variés tels que la chimie quantique, la dynamique moléculaire, le transport de neutrons, le mouvement de foules ou le traffic urbain.