COntrôle sur des Structures Stratifiées – COSS

Le thème central du projet se situe dans le domaine de la théorie du contrôle et des équations aux dérivées partielles (en particulier les équations de Hamilton-Jacobi), posées dans des structures stratifiées et des réseaux. Ces équations apparaissent très naturellement dans beaucoup d’applications comme la modélisation du trafic routier, la gestion de l’énergie sur des réseaux smart grid ou des trajectoires terre-mer avec différentes dynamiques. Ces problèmes de contrôle peuvent être étudiés dans le cadre de la théorie des équations de Hamilton-Jacobi. Récemment, des avancées significatives ont été réalisées, ce qui a permis de bien comprendre la notion désolations de viscosité (en particulier les questions d'existence et d'unicité) sur des structures stratifiées spécifiques. Cette base de résultats sera développée davantage dans différentes directions. Premièrement, il sera nécessaire de compléter l'analyse pour des problèmes plus généraux sous des hypothèses plus faibles que celles utilisées jusqu'à maintenant (nature de la stratification, hypothèse sur l'hamiltonien, ...). D'un autre côté, il est nécessaire d'utiliser la base existante pour avancer la recherche dans d'autres directions très actives comme l'homogénéisation ou les jeux à champ moyen. De plus, toutes ces résultats théoriques seront utilisés pour obtenir des avancées significatives dans la modélisation et la résolution numérique de problèmes de contrôle sur des domaines stratifiés.
Plus précisément, le but de ce projet sera de développer la théorie fondamentale régissant les problèmes de contrôle optimal, les jeux différentiels et les jeux à champ moyen dans des structures stratifiées ou des réseaux, d’apporter des méthodes de calcul pour leur solution mais également de proposer une théorie d’homogénéisation permettant de passer de modèles microscopiques à des modèles macroscopiques, donnant ainsi une justification rigoureuse pour ces derniers. Les objectifs principaux comprennent la compréhension de questions fondamentales sur la structure des trajectoires optimales, l’analyse de la fonction valeur et sa caractérisation par des équations de Hamilton-Jacobi, le contrôle en feedback et les problèmes de perturbations singulières et d’homogénéisation. Dans le cas particulier des réseaux, notre but sera également de comprendre les liens avec les lois de conservations avec des flux discontinus. Cette outils nous permettront de traiter une large classe de problèmes pour lesquels les dynamiques sont discontinues et peuvent dépendre du domaine où se trouve la trajectoire.
Notre projet propose des études mathématiques et numériques difficiles pour les problèmes de contrôle optimal, les jeux et les jeux de champ moyen, et l'homogénéisation sur des structures stratifiées. Nos approches sont basées sur la théorie des EDP non linéaires, l'analyse non lisse et les méthodes numériques avancées. Grâce à l'expertise des membres de l'équipe, et inspiré par des problèmes réels difficiles, notre projet contribuera à faire avancer la théorie et produira des codes numériques académiques en libre accès. Le projet est organisé en quatre grands axes méthodologiques : commande optimale et trajectoires optimales, perturbation singulière et homogénéisation, théorie des jeux et jeux à champ moyen et analyse numérique.