Homotopie motivique, invariants quadratiques et classes de la diagonale – HQDIAG

De Riemann à Poincaré, les méthodes topologiques ont imprégné le développement de la géométrie, de l'algèbre et de l'arithmétique. Homologie et homotopie, faisceaux et suites spectrales, catégories dérivées et catégories modèles ont tour à tour façonné un grand nombre d'invariants qui ont pu être appliqués à une grande variété de problèmes, couronnés par la refonte de la géométrie algébrique par Grothendieck. Dans cette lignée, la théorie motivique de Voevodsky a fait irruption dans les années 90 emmenée par la preuve de la conjecture de Bloch-Kato. Après la fondation de l'homotopie motivique par Morel et Voevodsky, la théorie a fortement évolué autour de sa connexion étroite avec la topologie algébrique, aboutissant à des résultats fondamentaux tels que la théorie de l'orientation pour les cohomologies de la géométrie algébrique (cohomologie motivique, K-théorie et cobordisme algébrique), et la découverte de la nature quadratique des invariants A1-homotopiques: les calculs de Morel sur les faisceaux homotopiques stables des sphères, et les orientations généralisées de Panin et Walter conduisant à la géométrie énumérative quadratique de Levine.

Le but de notre projet est d'étendre et appliquer les méthodes de l'A1-homotopie dans trois directions principales et complémentaires, un thème unificateur étant le rôle des classes caractéristiques, en particulier celui de la classe fondamentale de la diagonale :

- L'étude des variétés algébriques ouvertes par les méthodes A1-homotopiques, dans le but d'établir une théorie d'"A1-homotopie à l'infini", stable dans une première approche, dont la pierre angulaire serait la compréhension de la classe fondamentale de la diagonale des variétés algébriques non nécessairement propres. Notre objectif est de développer des méthodes de calcul qui pourraient également donner une nouvelle perspective pour le calcul de ces classes fondamentales. Nous espérons également développer ces méthodes pour initier une étude A1-homotopique des singularités, des nœuds et des liens suivant Mumford, Milnor, et d'autres. Une motivation de plus long terme est d'obtenir des invariants A1-homotopiques instables à l'infini, en vue de la formulation d'une conjecture de Poincaré motivique.

- Nous voulons étendre les applications des invariants quadratiques de la théorie A1-homotopique. Une première direction, de nature arithmétique, est le développement d'une formule de Riemann-Roch quadratique, basée sur les cohomologies A1-homotopiques comme la K-théorie hermitienne et les groupes de Chow-Witt. Dans le prolongement de cette formule, nous avons l'intention de développer la notion récente de lois formelles ternaires, un analogue A1-homotopique des lois de groupes formels. Compte tenu du rôle central des lois de groupe formel en homotopie stable classique, nous pensons que cette étude est prometteuse pour l'A1-homotopie. Nous proposons également une piste, plus exploratoire, pour mettre à jour le rôle possible des invariants quadratiques de l'A1-homotopie dans les conjectures de Beilinson sur les valeurs spéciales de fonctions L.

- Notre dernier thème consiste à développer de nouveaux théorèmes de décompositions pour les motifs relatifs. En effet, ce problème peut se formuler en termes de décomposition de la classe fondamentale de la diagonale, cette fois dans le cas propre. Certains de nos résultats récents donnent de nouveaux cas où la conjecture de Chow-Künneth relative peut-être démontrée. Nous espérons pouvoir étendre ces résultats à des cas plus arithmétiques, en travaillant sur des corps de nombres ou même sur des anneaux d'entiers. Nous projetons aussi de développer la théorie des motifs de Nori relatifs et ses liens avec la théorie de Voevodsky. Il est ainsi possible de transporter les méthodes et définitions de l'A1-homotopie à l'infini à la catégorie des motifs de Nori et de profiter des avantages de cette théorie abélienne.