Invariants de Gromov-Witten de l'hypersurface quintique en tous genres via les espaces symétriques – AGIQS

Née des idées de la physique théorique, le phénomène de symétrie miroir a bouleversé les paradigmes de la géométrie énumérative, cette branche de la géométrie algébrique vieille de plus de deux mille ans, et a contribué au développement d'un nouveau champ de recherche : la théorie de Gromov--Witten.
Depuis trente ans, l'essor de cette théorie a été motivé par le calcul d'invariants géométriques d'un exemple clef : la quintique.
Il s'agit d'une variété complexe de dimension réelle six possédant une propriété remarquable, elle est dite de Calabi--Yau. Les variétés de ce type jouent un rôle fondamental en mathématiques mais également en théorie des cordes en physique.
Mon projet de recherche a pour ambition de calculer ces invariants de Gromov--Witten pour la quintique, c'est à dire de résoudre cette question majeure de ma discipline.
Mon approche est complètement orthogonale à toutes les approches existantes menées par les experts du domaine, en cela qu'elle ne repose pas sur l'élaboration de nouvelles théories sophistiquées mais plutôt qu'elle attaque le problème original de front en utilisant quatre grands théorèmes.
Le premier est un théorème remarquable dû à Costello en 2003 qui ramène le calcul des invariants de Gromov--Witten en tout genre à un calcul en genre zéro grâce à l'introduction du groupe symétrique.Bien que cet article ait été publié dans `Annals of Mathematics', il n'a connu aucune application concrète dans notre communauté jusqu'à présent. Le deuxième ingrédient est un théorème omniprésent en géométrie algébrique complexe : le théorème de résolution des singularités d'Hironaka de 1964. Le troisième outil est la technique de calcul principale de la théorie de Gromov--Witten. Il s'agit d'une version de la formule de localisation d'Atiyah--Bott adaptée à ce contexte par Graber--Pandharipande en 1997. Enfin, j'établis dans ma dernière prépublication l'élément qui va permettre de recoller ces chefs-d'oeuvre ensemble. J'y construis une extension de la théorie de Gromov--Witten de genre zéro qui permet de l'appliquer à des espaces très singuliers puis je montre une certaine invariance de la théorie par déformations. Cette façon de procéder n'a jamais été testée jusqu'alors et j'ai récemment montré qu'elle permet de retrouver les invariants de la quintique en genre 1, un résultat dû à Zinger en 2009. En conclusion, ce projet devrait non seulement permettre de répondre à une question majeure de mon domaine, mais aussi de mieux comprendre la théorie de Gromov-Witten des orbifolds et indirectement de poursuivre le développement de la théorie des cordes.