Arithmétique du j-invariant – JINVARIANT

L'invariant j est l'un des objets mathématiques les plus importants et les plus intrigants. Nous étudierons ses propriétés arithmétiques ainsi que celles d'objets adjacents (courbes modulaires, formes modulaires, modules singuliers, etc.). Le projet est composé de 6 chercheurs français. Deux thésards seront également impliqués.

Notre programme de recherche est constitué de 4 grands axes :

A. Arithmétique des courbes modulaires
Le récent développement de formes effectives de la méthode de Chabauty-Kim non-abélienne a renouvelé l’arithmétique des courbes, avec des conséquences particulièrement impressionnantes pour les courbes modulaire comme le travail spectaculaire de Balakrishnan et al (2019). La situation est encore très évolutive, Edixhoven et Lido ayant proposé une version plus géométrique de cette méthode. Le Projet A s’attachera à développer des outils théoriques et pratiques pour en approfondir la compréhension (modèles réguliers des courbes, adaptation des méthodes au cas de quotients de jacobiennes, calculs explicites de nouveaux cas - on l’espère - instructifs).

B. André-Oort effectif
En 2011, Pila a démontré la conjecture d'André-Oort pour C^n. Son argument n'était pas effectif, mais ces dernières années, des preuves effectives ont été fournies pour divers cas particuliers du résultat de Pila. En particulier, il est montré qu'André-Oort est effectif pour les courbes et pour les variétés linéaires (en d'autres termes, pour les variétés algébriques de dimension 1 ou de degré 1). Un autre type de résultats obtenus est la caractérisation complète de points spéciaux sur certaines familles infinies de courbes. Nous envisageons de poursuivre ces activités. Le but définitif est André-Oort pour C^n complètement effectif. Bien que cela semble difficile à réaliser, nous prévoyons de faire de nombreux cas spéciaux, allant bien au-delà du degré et de la dimension 1. Nous prévoyons également d'étendre les résultats explicites sur les familles paramétriques à des dimensions supérieures.

C. Unités singulières et modules de Drinfeld
L'arithmétique des invariants modulaires singuliers, c'est-à-dire des invariants j de courbes elliptiques à multiplication complexe, a connu récemment des avancées frappantes avec les travaux de Habegger (2015), puis Bilu, Habegger, et Kühne (2018), sur les unités parmi ces invariants. La tâche C étudiera des questions analogues mais inexplorées pour les invariants modulaires singuliers associés aux modules de Drinfeld sur les corps de fonctions de caractéristique positive.

D. Géométrie d'Arakelov sur les courbes modulaires et courbes de Shimura : étudier l'auto-intersection de leur faisceau dualisant relatif.
L’ingrédient principal de la preuve d’Ullmo de la conjecture de Bogomolov consiste à démontrer la stricte positivité de l’auto-intersection du faisceau dualisant relatif d’une courbe algébrique. Après les travaux de Szpiro, il s’avère qu’une approche possible pour rendre ce résultat effectif serait d’obtenir des estimations de l’auto-intersection, comme l’ont fait Abbes et Ullmo pour les courbes modulaires associées aux Borel. Dans la tâche D, nous nous intéresserons à de telles estimations pour les courbes modulaires associées aux normalisateurs de Cartan et à certaines courbes de Shimura.

Nous organiserons 2 colloques et 4 ateliers sur les thèmes de ce projet.