Méthodes en résonance magnétique et combinatoire algébrique innovante – MAGICA

Les méthodes de caractérisation par résonance magnétique sont essentielles en science des matériaux. Les progrès méthodologiques dépendent de notre capacité à maîtriser la dynamique de spins associée. La solution des équations quantiques est toute entière contenue dans l’opérateur d’évolution, U. Exprimer U dans le cas dépendant du temps est d’une difficulté extrême : seules des méthodes numériques ou perturbatives sont actuellement accessibles. MAGICA introduit une approche mathématique nouvelle (Path-Sum) qui permet de résoudre exactement la dynamique de spins dans de tels cas. Path-Sum s’appuie sur des résultats profonds en combinatoire des chemins sur des graphes et conduit à l’expression analytique, non-perturbative et toujours convergente de U. Afin de démontrer ses apports à la dynamique quantique (Phys. Rev. Res., 2020), C. Bonhomme et P.-L. Giscard ont utilisé Path-Sum pour résoudre définitivement le délicat problème de l’effet Bloch-Siegert, sans aucune approche perturbative et quel que soit le régime d’excitation. De même, le phénomène de la Destruction Cohérente de l’Effet Tunel a été décrit avec une précision inégalée. Enfin, démontrant la viabilité de l’approche spécifiquement pour la RMN, la diffusion de spins au sein d’un système de 42 protons couplés a également été reproduite de manière analytique.
MAGICA est la suite ambitieuse de ces progrès récents : nous proposons à la communauté de la résonance magnétique, des perspectives inédites en termes de théorie, de simulation numérique et d’expériences. MAGICA s’appuie sur trois axes de recherche délibérément interconnectés. Le premier axe se propose d’étendre théoriquement la méthode Path-Sum à des systèmes d’équations différentielles couplées partielles ou fractionnaires. Ces développements originaux, venant de la pointe des mathématiques contemporaines, conduiront à la résolution analytique par Path-Sum des équations de Bloch, Bloch-McConnell et Bloch-Torrey, classiques ou fractionnaires. Il en résultera des applications immédiates en spectroscopie par modulation de la fréquence de Rabi, en théorie de l’échange chimique, de la diffusion anomale dans le cadre des matériaux hétérogènes, et en imagerie CEST. Le deuxième axe de recherche est consacré à l’extension de Path-Sum à de très grand systèmes via la méthode numérique Lanczos Path-Sum. Cette méthode a été très récemment développée par P.-L. Giscard en collaboration avec S. Pozza, membre du consortium MAGICA mais non financé explicitement par l’ANR. Lanczos Path-Sum a des fondations mathématiques très solides et MAGICA se propose d’en développer les premières applications concrètes : amélioration sensible des simulations au sein de plateformes telles que SIMPSON, prise ne compte explicite de très grands systèmes : chaînes infinies de spins et DNP (plusieurs milliers de spins). Il s’agit d’une tâche théorique à haut risque et donc à haute valeur ajoutée. Enfin, le troisième axe de recherche sera de nature expérimentale, en forte interaction avec les axes précédents, orienté vers deux classes de matériaux bien identifiées : les apatites et les oxalates de calcium. Les premières expériences en spectroscopie par modulation de la fréquence de Rabi seront menées en RMN en phase solide. Les temps de relaxation au sein de matériaux hétérogènes seront analysés à l’aide des équations de Bloch fractionnaires. La diffusion de spins au sein de réseaux à 1, 2 ou 3 dimensions sera étudiée de manière totalement innovante en exploitant une certaine invariance d’échelle inhérente à Path-Sum. Enfin, des matériaux accordables chimiquement (tunable) seront synthétisés et étudiés de manière approfondie par DNP de manière à valider et enrichir les prévisions théoriques obtenues par Lanczos Path-Sum. Une fois encore, il s’agit d’une tâche expérimentale à haut risque et à haute valeur ajoutée. Le projet MAGICA s’inscrit donc dans un effort synergique, à la croisée de la spectroscopie RMN, des mathématiques pures et numériques.