Métastabilité pour des processus non-linéaires – METANOLIN

L'idée principale est d'utiliser un potentiel d'interaction concave plutôt qu'un potentiel convexe. Ainsi, la force d'interaction est répulsive et on a une meilleure exploration de l'espace.

Un premier travail réunit Paul-Eric Chaudru de Raynal, Pierre Monmarché, Milica Tomasevic et Julian Tugaut ainsi que Hong Duong (extérieur au projet ANR). Nous avons été en mesure d'obtenir le temps de sortie de diffusions overdamped non-linéaires. Ce travail initial s'est très naturellement étendu au cas cinétique (Langevin), au cas où l'interaction est spatio-temporelle (dite McKean-Vlasov mémorielle ou de type Keller-Segel). La force principale du travail est la robustesse de la méthode vis à vis des hypothèses.
Dans ce travail, le potentiel de confinement V est convexe tandis que l'interaction est répulsive. Le résultat principal est la diminution du temps de sortie. Ceci peut se traduire par une réduction de métastabilité (bien que l'on ne puisse pas parler de métastabilité au sens propre quand il y a convexité). Ce travail est sur le point d'être soumis.


Un second travail réunit Ashot Aleksian, Aline Kurtzmann et Julian Tugaut ainsi que Pierre Del Moral (extérieur au projet ANR). Nous avons été en mesure d'obtenir des résultats similaires à ceux du précédent travail au cas où l'on a des diffusions auto-interagissantes (c'est-à-dire lorsque l'interaction est avec le passé de la trajectoire). Ici, le potentiel de confinement comme le potentiel d'interaction sont convexes. Ce travail est sur le point d'être soumis. Nous avons aussi développé une méthode pour traiter le cas non-convexe, bien que nous n'ayons pas encore écrit d’article à ce sujet.


Un troisième travail réunit Julian Tugaut avec Daniel Adams, Gonçalo dos Reis, Romain Ravaille et William Salkeld (extérieurs au projet ANR). Ce travail traite de diffusions de type McKean très générales mais toujours dans le cas où le confinement et l'interaction sont convexes. L'apport principal de cet article en révision mineure pour Stochastic Processes and their Applications est de s'intéresser au cas où l'espace des phases est compact.


Un quatrième travail (non prévu dans le projet initial) réunit Julian Tugaut avec Jean-François Jabir (extérieur au projet ANR) et concerne le premier temps où deux diffusions non-linéaires vont entrer en collision. Ce travail est assez préliminaire et traite de cas simples où l'interaction est linéaire. Ce travail est sur le point d'être soumis.

La principale perspective est l'extension au cas réellement non-convexe.

Convergence of a particle approximation for the quasi-stationary distribution of a diffusion process: uniform estimates in a compact soft case, Lucas Journel et Pierre Monmarché. arxiv.org/pdf/1910.05060.pdf

Large Deviations and Exit-times for reflected McKean-Vlasov equations with self-stabilizing terms and superlinear drifts, Daniel Adams, Gonçalo dos Reis, Romain Ravaille, William Salkeld, Julian Tugaut. arxiv.org/pdf/2005.10057.pdf

Reducing exit-times of diffusions with repulsive interactions, Paul-Eric Chaudru de Raynal, Hong Duong, Pierre Monmarché, Milica Tomasevic et Julian Tugaut.
arxiv.org/pdf/2110.13230.pdf

Le projet s'intéresse à la résolution de questions liées à la métastabilité pour des processus stochastiques non-linéaires : la diffusion dite auto-stabilisante (qui est une diffusion de McKean-Vlasov où la loi du processus intervient dans la dérive par une convolution), la diffusion dite auto-interagissante (qui est une diffusion où la mesure d'occupation du processus intervient dans la dérive) et des diffusions de type Keller-Segel (avec interactions spatio-temporelles).

La question globale que l'on se pose est la suivante : comment améliorer la convergence d'algorithmes de type recuit simulé pour l'optimisation d'une fonction de coût donnée ? On sait en effet que la vitesse de convergence d'une méthode de type gradient stochastique est liée au temps de sortie d'un minimum local et donc à la métastabilité de la diffusion de Kolmogorov associée.

La théorie de Freidlin et Wentzell permet de quantifier ce temps de sortie pour des diffusions linéaires. On sait en effet que l'espérance du temps de sortie se comporte comme l'exponentielle de l'inverse de la température multiplié par la hauteur du puits. Comme la température doit être basse afin que la diffusion colle au mieux à la géométrie du potentiel, ce temps est donc énorme.

Nous regardons des diffusions non-linéaires afin de mieux explorer l'espace via une répulsion. Nous disposons déjà de premiers résultats encourageants dans un cadre où les potentiels d'interaction sont convexes. Ces résultats stipulent que le temps de sortie, dans le cadre de la convexité et sous certaines hypothèses, se comporte de la même façon à ceci près que la hauteur du puits est plus grande. Ainsi, le temps de sortie est fortement augmenté. Ceci suggère fortement qu'un cadre concave judicieux va au contraire drastiquement diminuer le temps de sortie par réduction de la hauteur du puits. La conséquence directe est l'amélioration significative de la convergence par rapport aux algorithmes classiques.

De fait, dans ce projet, nous nous intéressons à des diffusions non-linéaires qui sont limites hydrodynamiques de systèmes à champ moyen pour lesquels le potentiel d'interaction est répulsif. Ainsi, les particules du système ont tendance à se repousser et intuitivement à mieux explorer l'espace. Nous souhaitons également regarder le système de particules lui-même pour les simulations numériques. En effet, la force de la diffusion de McKean-Vlasov est sa capacité à être facilement simulable au travers de systèmes de particules.

Nous nous intéressons également à des diffusions non-linéaires dont le passé intervient dans la dérive de la trajectoire de par la présence de la mesure d'occupation. La force (que nous comptons exploiter) de ce type de diffusion est le fait que les différentes trajectoires ne sont pas en interaction spatiale. Néanmoins, en vue des simulations numériques, il nous faudra probablement nous restreindre à des potentiels d'interaction polynomiaux.

Enfin, nous nous intéressons également à un mélange d'interaction spatiale et temporelle. Ceci correspond à une diffusion de type Keller-Segel où le système de particules associé perd son caractère markovien. Dans une ultime étape, nous souhaitons que les interactions de ce type de diffusion soient singulières pour permettre une répulsion forte entre les particules et leur passés.