Mesure et Optimisation des Matériaux Architecturés Périodiques – MOMAP

1 Calcul de la surface limite de linéarité

La surface limite de linéarité recherchée correspond à l'intersection de trois domaines : le domaine des transformations élastiques (absence de plasticité, endommagement, rupture), le domaine sans flambements locaux (absence de motifs de flambement de longueur d'onde finie), le domaine sans flambements globaux (absence de modes de flambement à longueur d'onde infinie).

Pour ces dernières, une méthode originale a été développée. À l'échelle d'une seule cellule, des conditions aux limites intégrant un motif de flambement ont été introduites, dans un contexte de grandes transformations. Le facteur de charge a alors été trouvé par annulation du déterminant de la matrice de rigidité.

2 Approximant polynomial de la surface limite de linéarité

À la suite des travaux sur les invariants d'autres collaborations (en particulier le projet précédent MatSyMat), une surface seuil à base d'invariants polynômiaux du 4e ordre a été développée. Le nombre de monômes a été réduit en considérant la classe de symétrie à laquelle la surface seuil (héritée de la microstructure) est censée appartenir. Une méthode de minimisation de distance avec les points de mesure a aussi été développée.

3 Optimisation topologique des matériaux architecturés

Les méthodes classiques d'optimisation topologique ont été repensées afin de prendre en compte la nouvelle formulation des surfaces seuil.

4 Montage d’essais mécanique pour la mesure de l'élasticité et de la surface limite de linéarité des matériaux architecturés

Le nouveau montage d'essai introduit des conditions aux limites respectant les conditions de périodicité dites de Cauchy-Born, afin de ne pas engendrer les flambements (bifurcations) que l'on recherche. La forme triangulaire originale de l'éprouvette permet l'application de conditions aux limites en déplacement, imposées aussi par l'équilibre du montage et les barres de l'architecturé sont tenues à mi-longueur par des pivots.

5 Mesure de forme par tomographie X, méthode 3D-VIC

La reconstruction de la forme de l'éprouvette de matériau architecturé est faite par corrélation d'image entre les projections du tomographe (radiographies 2D) réelles et celles simulées numériquement (depuis la CAO et la physique du tomographe). On profite alors de la connaissance de la forme théorique (la CAO initiale) de l'objet. Il y a autant de calculs 2D que de radiographies, mais pas de coûteux calcul en 3D. La mesure consiste en une CAO de l'objet, c'est à dire une forme analytique et paramétrée (et non un ensemble de voxels). Cette information renseigne sur les écarts par rapport à la CAO prescrite, c'est à dire les défauts de forme ou la déformation recherchés. La corrélation entre les radiographies réelles et simulées est celle de la VIC (2D), elle même proche des méthodes de corrélation d'images (DIC).

I Calcul de la surface limite de linéarité

La méthode, publiée, a été développée en 2D et limitée aux architecturés triangulaires, réservés donc aux applications structurelles, rigides. Néanmoins, tout architecturé à barres droites est accessible par cette méthode.

Le logiciel, initialement développé dans le cadre de la thèse de V. Jeanneau, a été mis au point par un stagiaire (R. Picard). Il est maintenant accessible en Open-Source sur la plate-forme Zenodo.

2 Approximant polynomial de la surface limite de linéarité

La nouvelle surface seuil polynomiale pour les architecturés à maille triangulaire a été finalisée lors de la thèse de N. Kesmia. Déjà montrée lors de congrès scientifiques, la publication finale est en cours d'écriture.

3 Optimisation topologique des matériaux architecturés

Ce point n'a pas été finalisé. La tâche s'est révélée trop ambitieuse et nécessitait la finalisation des travaux sur les surfaces seuil. Cependant des avancées ont été trouvées, qui sont en cours de rédaction. De fait, le démonstrateur prévu chez Xtreee (une plaque optimisée) n'a pas pu être réalisé.

4 Montage d’essais mécanique pour les matériaux architecturés et mesure de la surface limite de linéarité

Le principe du montage d'essai a été validé lors d'un stage de M. Gaudeul chez Calcul-Méca. Ensuite, le concept a évolué progressivement, avec la simulation de nombreuses cinématiques différentes et divers dimensionnements, jusqu'à la production des dessins de définition en juin 2024. Le montage a été livré en septembre 2024. Il est le premier au monde a être capable de générer un état de déformation de direction (tensorielle) quelconque en 2D, tout en imposant des conditions aux limites régulières (de Cauchy-Born) sur les bords. La publication du concept du montage est en cours de rédaction.

5 Mesure de forme par tomographie X 3D-VIC

Développée lors de la thèse de L. Calmettes à partir des versions VIC 2D et de certains développements précédents (de nous et d'autres auteurs) en 3D, la méthode 3D-VIC, utilisant une corrélation sur les projections et des fonctions de forme RBF, a été finalisée et publiée. Le programme est maintenant opérationnel sur Cuda et disponible en Open-Source. Les éléments nouveaux sont que i) la mesure obtenue est de précision sub-pixel et ii) ne nécessite que quelques (4 ou 5…) radiographies. Ceci est à comparer à la précision de plusieurs voxels et l'utilisation d'environ 1000 radiographies pour les méthodes de reconstruction existantes. Notons enfin que le problème de l'évaluation a priori de l'erreur de mesure a été résolu (et publié) en 2D.

I Calcul de la surface limite de linéarité

L'extension de la méthode de 2D à 3D est tout à fait envisageable, ne demandant que des développements techniques. Par contre, la méthode demeure assez lente : il faut plusieurs minutes pour déterminer la surface seuil pour une maille donnée. Il est probable que le programme puisse être accéléré tant grâce à un travail sur la programmation qu'à un travail sur le problème théorique. Ces travaux sont d'ores et déjà poursuivis.

2 Approximant polynomial de la surface limite de linéarité

L'identification des paramètres optimaux pour décrire une surface de charge définie par un ensemble de point (par la méthode précédente ou par une autre) est encore lente. Un processus automatique serait nécessaire. Il permettrait aussi, à l'aide d'un méthode de réduction de modèle, d'extrapoler les surfaces de charge pour toute géométrie de maille à partie de la connaissance d'un nombre fini d'entre elles.

3 Optimisation topologique des matériaux architecturés

Cette tâche est la moins avancée du projet, beaucoup de travail reste encore à faire afin d'obtenir une optimisation de la forme de la pièce (échelle macro) et de la cellule (échelle méso). La solution intermédiaire envisagée est d'imposer géométrie macroscopique homogène (la même maille partout) afin de se focaliser sur l'optimisation de la forme des cellules, un thème proche des travaux connus sur l'optimisation du placement des renforts dans les pièces composites.

4 Montage d’essais mécanique pour les matériaux architecturés et mesure de la surface limite de linéarité

Le montage est réalisé et le protocole de mesure en cours de mise au point. Une méthode de mesure optique VIC-2D est prévue d'être développée par M. François et V. Rey, qui utilise comme base de déplacements les modes bifurqués connus, afin d'identifier avec une précision sub-pixel leur apparition. Une mesure préliminaire et de validation par un code VIC avec modèle barres existante (J. Réthoré) est prévue. Enfin, un algorithme de détection de flambement locaux par FFT 2D, développé par F. Amiot (Femto) est prévue.

Au final, ce montage et cette méthode de mesure devraient nous permettre la mesure de l'élasticité 2D et de la surface de charge d'un architecturé 2D triangulaire. Cela permettra de valider les approches théoriques, mais aussi de réaliser des mesures sur les performances réelles des architecturés, prenant en compte les défauts de forme et de matière. La mesure en fatigue pourrait aussi être envisagée.

5 Mesure de forme par tomographie X 3D-VIC

Le code est maintenant opérationnel mais mérite encore d'être enrichi avec la prise en compte des défauts du tomographe, afin d'en améliorer la précision. Les limites de la méthode : nombre de cellules imagées, influence du bruit, mesure sur des matériaux plus diffractant (métal), restent à tester. L'intégration de la mesure 3D-VIC et des essais mécaniques 3D (encore rudimentaires) reste à faire.

Jeanneau, V.; Combescure, C.; Franc¸ois, M. Homogenized elasticity and domain of linear elasticity of 2D architecture materials. International Journal of Solids and Structures. 2023, 269(1), 112185.

Combescure, C. Selecting generalized continuum theories for nonlinear periodic solids based on the instabilities of the underlying microstructure. 19th US National Congress of Theoretical and Applied Mechanics, Jun 2022, Austin, United States.

Calmettes, L.; Franc¸ois, M.; Re´thore´, J. Shape measurements of lattice materials from few X-ray radiographs using the 3D virtual image correlation method. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2023.

Franc¸ois, M. Uncertainty of the virtual image correlation method. International Journal for Numerical Methods in Engineering. 2022, 123(18), 4367–4390.

Les matériaux architecturés de type lattice pourraient permettre [Fleck, 2010] un gain de masse des structures d’un facteur 10. Cependant trois verrous font encore obstacle à leur utilisation industrielle : - leur coût de fabrication - le dimensionnement optimal des cellules qui reste long et complexe avec les méthodes globales actuelles [Laszczyk, 2011] - la mesure de leurs propriétés mécaniques réelles ainsi que le contrôle de qualité qui ne sont pas possibles avec les essais mécaniques classiques [Bréchet, 2013] Nous nous intéressons dans ce projet à lever les deux derniers verrous. L’optimisation topologique sert en général à définir la forme optimale de structures en matériau massif. Il s’agira ici de considérer la forme globale comme définie et d’optimiser les caractéristiques locales de la géométrie des cellules (épaisseurs des brins, angles). L’optimisation se fera en considérant le matériau homogénéisé, via son tenseur d’élasticité, ses critères limites d’élasticité (et de linéarité) et les limites de fabricabilité associées au procédé d’impression 3D. Un des participants [Olive, 2017] est co-découvreur du premier set d’invariants des tenseurs d’élasticité. Nous utiliserons certains de ces invariants et les paramètres d’orientation pour mener l’optimisation de la géométrie des cellules. L’élasticité et la limite d’élasticité réelle du matériau lattice seront calculés analytiquement. Afin de mesurer leurs valeurs réelles, un montage d’essai sera mis au point. Les conditions aux limites seront imposées par des liaisons particulières afin de ne pas activer d’élasticité du second gradient [Poncelet, 2018] et d’avoir des champs de déformation homogènes dans les éprouvettes. Afin d’exciter un nombre suffisant de modes de déformation, les éprouvettes seront sollicitées par un actionneur hexapode. La mesure des déformations sera effectuée à l’aide d’une imagerie 3D par tomographie X. L’imagerie par tomographie X nécessite une reconstruction en 3D depuis la collection de radiographies 2D obtenue. Nous adapterons pour cela la méthode VIC (Virtual Image Correlation) [Réthoré, 2013]. Utilisant une description paramétrique de la forme des cellules, celle-ci agit comme un filtre optimal. Cette imagerie sera utilisée pour détecter des défauts géométriques sur des tomographies à l’échelle de la cellule. À l’échelle de la structure, couplée avec des méthodes de corrélation d’images DIC 3D existantes, elle permettra une mesure du champ de déformation des éprouvettes. Le CEA et la société Dorel sont partenaires du projet. Le CEA réalisera des éprouvettes et deux structures de lattice métallique. Les structures, optimisées à l’aide des méthodes développées dans le projet, seront testées afin de vérifier les performances obtenues. Dorel établira un cahier des charges relatif aux équipements pour bébé. Deux structures (en polymère) seront calculées (une par méthode globale actuelle et l’autre par la méthode développée), réalisées, puis testées afin de comparer les performances obtenues.

Fleck, N.A., Deshpande, V.S., Ashby, M.F. (2010). Micro-architectured materials: past, present and future. Proceedings of the royal society of London A. Vol. 466, No. 2121, pp. 2495-2516.
Laszczyk, L. (2011). Homogénéisation et optimisation topologique de panneaux architecturés, Thèse de Doctorat, Université de Grenoble.
Olive, M., Kolev, B., Auffray, N. (2017). A minimal integrity basis for the elasticity tensor. Archive for Rational Mechanics and Analysis, 226(1), 1-31.
Poncelet, M., Somera, A, Morel, C., Jailin, C, Auffray, N. (2019) An experimental evidence of the failure of Cauchy elasticity for the overall modeling of a non- centro-symmetric lattice under static loading. International Journal of Solids and Structures, 147 (15), 223-237
Réthoré, J. et François, M. (2013). Curve and boundaries measurement using B-splines and virtual images, Optics and Lasers in Engineering, 52, 145-155.