Modèles stochastiques en grande dimension pour la physique statistique hors équilibre – LSD

La mécanique statistique constitue un cadre théorique pour relier le comportement microscopique des atomes et des molécules aux phénomènes macroscopiques, à l’équilibre comme les transitions de phases (ébullition, gel) et hors équilibre comme la conduction de la chaleur, la diffusion, etc. Ces problèmes fondamentaux sont souvent mal compris, en particulier hors équilibre, car il est difficile d’obtenir des résultats numériques fiables et des théories analytiques complètes. Ceci justifie l’importance d’approches mathématiques pour obtenir des résultats rigoureux dans des modèles spécifiques qui pourront ensuite être utilisés comme des résultats de référence et servir à trancher des controverses en physique théorique.

Dans ce projet de mathématiques, nous allons utiliser des dynamiques avec un grand nombre de particules en interaction pour étudier des problèmes de mécanique statistique hors équilibre. Nous emploierons des méthodes probabilistes comme les grandes déviations, les EDP non-linéaires stochastiques. Pour résoudre ces problèmes de physique statistique, il faudra, en particulier, améliorer notre compréhension des propriétés de relaxation des chaînes de Markov et des processus de diffusion.

Nous concentrerons nos travaux sur les questions suivantes :

- Transport macroscopique : Nous voulons comprendre comment les équations d’évolution macroscopiques, comme l’équation d’Euler ou l’équation de la chaleur, apparaissent comme limites d’échelle en espace et en temps de dynamiques microscopiques. Nous allons aussi travailler sur les propriétés des états stationnaires maintenus hors équilibre par des conditions aux bords. Nous étudierons les coefficients de transport comme la conductivité thermique et les phénomènes de super-diffusion qui apparaissent quand ces coefficients divergent pour certains modèles en petite dimension. Nous analyserons les fluctuations autour des limites macroscopiques et en particulier les grandes déviations.

- Dynamiques lentes et désordonnées : Dans certains systèmes physiques comme les verres, les dynamiques microscopiques sont tellement lentes que les systèmes ne parviennent pas à atteindre un équilibre sur des échelles de temps observables. Ces dynamiques jouent un rôle clef hors équilibre et nous allons étudier trois classes de modèles où le ralentissement dynamique a des origines très différentes : les contraintes géométriques, la condensation et le désordre.

- Interfaces dynamiques et équation KPZ : la dynamique des interfaces est omniprésente en mécanique statistique hors équilibre, dans les modèles de séparation de phases, les modèles de croissance, etc. Selon l’échelle à laquelle on regarde ces phénomènes, ils peuvent être décrits par des EDP déterministes de mouvement par courbure moyenne ou par des EDP stochastiques hautement singulières. Ces deux régimes posent des questions mathématiques fascinantes. Les modèles de croissance sont aussi intimement liés aux dynamiques asymétriques de gaz sur réseau hors équilibre.