Multiplicativity, determinism, and Randomness – MuDeRa
Multiplicativité, Déterminisme et Aléa
Ce projet de recherche bilatéral FWF-ANR (Autriche-France) a pour objectif une meilleure compréhension de certains phénomènes liés à la notion d'aléa et celle de déterminisme dans le contexte de la théorie analytique des nombres, la combinatoire des mots, la théorie des automates, les suites pseudo-aléatoires et les domaines connexes.
Propriétés multiplicatives et digitales des suites
Un grand nombre des suites étudiées en théorie des nombres sont déterministes d'une part, d'autre part elles ressemblent beaucoup à des suites aléatoires. Un exemple emblématique est celui de la fonction de Möbius. Nous nous intéressons à la quantification du lien d'indépendance de ces fonctions avec les fonctions qui se basent sur la notion des «chiffres« ou qui sont liés aux systèmes dynamiques d'entropie zéro. Une difficulté centrale se situe dans la transition des propriétés multiplicatives d'un entier à ses représentations digitales.
Les méthodes mises en avant dans ce projet proviennent de la combinatoire et la théories des nombres, en particulier, les sommes d'exponentielles, les entiers friables, la méthode du col, les suites génératrices, les suites automatiques et les outils arithmétiques, probabilistes et dynamiques pour l'étude des systèmes de numération.
Parmi les travaux (publications et prépublications) déjà effectués, nous pouvons mettre en avant les deux résultats suivants :
(1) J.-M. Deshouillers, M. Drmota, et C. Muellner, Automatic sequences generated by synchronizing automata fulfill the Sarnak conjecture, Studia Mathematica 231 (1), 83-95, 2015. Dans cet article, la conjecture de Sarnak a été démontré pour les suites automatiques engendrées par un automate synchronisé ainsi qu'un théorème des nombres premiers pour les suites associés. Dans un manuscrit récent, C. Muellner (voir page web du projet) démontre un principe d'aléa de Moebius pour toute suite automatique et un théorème des nombres premiers pour une large classe des suites automatiques.
(2) M. Drmota, C. Mauduit et J. Rivat, The Thue-Morse sequence along squares is normal, soumis. La suite de Thue-Morse est un exemple d'une suite automatique qui est engendré par un algorithme très simple. Les auteurs montrent dans ce travail que la suite de Thue-Morse le long des carrés est une suite normale : la fréquence d'apparition de chaque n-uplet des termes est équirépartie.
Quelques travaux en cours :
- J.-M. Deshouillers, B. Landreau, S. Laishram, C. Mauduit, J. Rivat sur la comparaison des sommes des chiffres en bases 2 et 3
- B. Martin, C. Mauduit et J. Rivat sur les propriétés locales des chiffres des nombres premiers
- B. Martin et M. Balazard, sur les sommes liées à la fonction de distance à l'entier le plus proche
La liste des articles (publications, prépublications et travail en cours) se trouve sur la page dédiée au projet : iecl.univ-lorraine.fr/~Thomas.Stoll/MuDeRa/
Coordination du projet
Thomas Stoll (Institut Elie Cartan de Lorraine)
L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.
Partenariat
LMPA Laboratoire de Mathématiques Pures et Appliquées
CNRS DR12_I2M Centre National de la Recherche scientifique délégation Provence et Corse_Institut de Mathématiques de Marseille
TUG Technische Universität Graz
JKUL Johannes Kepler Universität Linz
TUG Technische Universität Graz
IECL Institut Elie Cartan de Lorraine
IMB Institut de Mathématiques de Bordeaux
TUW Technische Universität Wien
Aide de l'ANR 381 680 euros
Début et durée du projet scientifique :
septembre 2014
- 36 Mois
