MOdèles, Oscillations et SchEmas NUmeriques – MOONRISE

(i) Modèles approchés. Dans la plupart des applications, les oscillations rapides sont pilotées par un paramètre de perturbation singulière epsilon, la longueur d'onde typique. Lorsqu'on s'intéresse spécifiquement aux situations où epsilon est très petit, il est intéressant de remplacer le modèle d'origine par une approximation dans laquelle les oscillations ont été moyennées. Par ailleurs, les phénomènes physiques pertinents dans nos modèles-cibles ne se produisent pas dans toutes les dimensions du problème. In fine, il est primordial de rechercher des modèles moins chers dans des dimensions réduites.

(Ii) Schémas numériques uniformément précis. Concevoir des schémas numériques dont la précision et la stabilité sont indépendants du paramètre epsilon autorise, dans les simulations, des pas de temps beaucoup plus grands que la longueur d'onde d'oscillation. Une telle propriété est intéressante quand on veut simuler le modèle original plutôt qu'un modèle asymptotique et ainsi traiter de manière uniforme toute la gamme de epsilon. L'augmentation de l'ordre d'un schéma numérique est aussi un moyen pour augmenter la précision sans avoir recours à de trop petits pas de temps.

(Iii) Préservation des structures et des invariants géométriques. On est souvent intéressés par le calcul de grandeurs physiques attachées à la solution du problème (comme les observables dans la mécanique quantique ou de l'énergie et des invariants adiabatiques dans les systèmes hamiltoniens), plutôt que par la solution elle-même. En concentrant l'effort principalement sur ces quantités, on peut obtenir des méthodes moins coûteuses. Les schémas numériques géométriques peuvent être d'une grande aide pour cet objectif.

(Iv) Validation multi-dimensionnelle. L'un des objectifs de ce projet est de développer des algorithmes efficaces pour effectuer des tests réalistes en dimension 2 ou 3 pour les dispositifs physiques complexes tels que ceux rencontrés dans les plasmas tokamaks par exemple.

Parmi les résultats marquants obtenus on peut citer les suivants :
- Un schéma AP pour Vlasov Maxwell a été mis au point.
- Un schéma AP dans la limite bas Mach pour les équations d’Euler a été mis au point.
- Un algorithme ultra efficace a été développé pour résoudre les équations cinétiques 3D en vitesse et en espace
- Le couplage entre méthodes double-échelle et semi-Lagrangienne ou PIC a été élaboré pour les équations cinétiques hautement oscillantes. Cela a permis d’obtenu une méthode numérique uniformément précise par rapport aux hautes fréquences des oscillations.
- On a montré que l’on peut utiliser de manière efficace les schémas AP directement sur les équations fluides fondamentales des plasmas magnétises, avec des pas de temps longs, indépendants de la fréquence de cyclotron.

Tâche 1.1: Dérivation rigoureuse de modèles de transport quantique en
dimensions réduites
Tâche 1.2: Un modèle cinétique pour le transport électronique dans le graphène: dérivation et discrétisation
Tâche 1.3: Modèles asymptotique pour les équations de Vlasov-Maxwell
dans le régime de dérive, schémas préservant asymptotique
Tâche 2.1: Développement et analyse de schémas préservant l'asymptotique dans des limites combinées au régime quasi-neutre
Tâche 2.2: Schémas préservant l'asymptotique dans les régimes champ fort et bas Mach pour les modèles fluides
Tâche 2.3: Méthodes numériques Uniformément Précises pour NLS en régime semiclassique
Tâche 3.1: Méthodes numériques d'ordre élevé pour les équations de Vlasov par méthode de composition
Tâche 3.2: Moyennisation stroboscopique pour les problèmes multifréquences: théorie et numérique
Tâche 4.1: Conception et mise en œuvre de méthode double-échelle pour les équations de Vlasov
Tâche 4.2: Méthodes numériques uniformément précise pour les problèmes à fréquence variable
Tâche 5.1: Algorithmes parallèles efficaces et méthodes de décomposition de domaine pour le système de Vlasov-Poisson et le système de Vlasov-Maxwell
Tâche 5.2: Vérification du code de résolution du modèle fluide avec
champ magnétique inhomogène. Comparaison avec des
résultats théoriques connus. Analyse de la performance de
la version parallèle du schéma AP.

21 articles parus dans des revues internationales de mathématiques appliquées à comité de lecture ou soumis ont été réalisés avec des crédits au projet Moonrise

Le projet Moonrise a pour objectif l'étude de problèmes de modélisation, d'analyse mathématique et de simulation numérique liés à la présence d'oscillations temporelles rapides dans des EDPs non linéaires provenant de plusieurs domaines de la physique : physique à l'échelle du nanomètre ou physique des plasmas.

Simuler numériquement des phénomènes très oscillants impose habituellement de sévères restrictions sur les pas de temps afin d'approcher correctement les dynamiques rapides. Usuellement, plusieurs approches peuvent être utilisées lorsque la discrétisation fine des oscillations est considérée comme trop coûteuse numériquement. Dans certaines situations précises, des méthodes numériques ad-hoc - difficilement généralisables - ont pu être développées afin de capter des effets moyennés en temps long. A l'autre bout du spectre, des techniques mathématiques permettent parfois de remplacer le problème initial par une limite asymptotique dans laquelle les effets oscillants ont été moyennés. Le projet Moonrise propose de concilier les deux types d'approches dans une démarche générale qui couplera l'analyse asymptotique et la construction de schémas numériques uniformément précis, permettant de simuler tous les régimes.

Les principaux modèles ciblés par notre projet sont les suivants :

- Des régimes hautement oscillants intervenant en physique à l'échelle du nanomètre. Parmi ceux-ci, on peut citer les équations du type Schrödinger non linéaire pour le transport quantique confiné (électrons dans des nanostructures, condensats de Bose-Einstein, transport dans le graphène) ou encore des régimes reliant entre eux plusieurs domaines de la physique, comme les limites semiclassiques ou non relativistes.

- Les modèles pour décrire le transport de particules chargées dans les forts champs magnétiques, appliqués aux plasmas magnétisés dans les Tokamaks ou encore aux plasmas spatiaux (magnétopause terrestre). Ici on peut citer les équations d'Euler ou de Vlasov, couplées aux équations de Maxwell ou, plus simplement, à l'équation de Poisson.

- Les régimes quasi-neutres pour des modèles de plasmas cinétiques, fluides ou diffusifs.

Notre objectif est donc, pour ces diverses applications, d'établir des modèles réduits (non oscillants ou de dimensionalité plus petite que celle de départ) et de construire des méthodes numériques robustes dont les pas de temps ne seront plus contraints par les oscillations rapides. En particulier, nous développerons des stratégies générales permettant de construire des schémas uniformément précis par rapport aux fréquences temporelles des oscillations. Ces schémas seront implémentés et testés sur des configurations de complexité croissante, depuis les nanostructures en plusieurs dimensions d'espace jusqu'aux configurations de Tokamaks. Pour ce faire, nous combinerons des outils d'analyse asymptotique, d'intégration numérique géométrique, des méthodes de moyennisation d'ordre élevé, ainsi que des techniques de construction de schémas numériques asymptotic-preserving.