Intégrateurs géométriques en dynamique des fluides et élasticité – GEOMFLUID

Ce projet est destiné à financer un travail de recherche sur le développement et application d'intégrateurs numériques géométriques pour des classes d'équations aux dérivées partielles utilisées en dynamique océanique et atmosphérique, et en élasticité non linéaire.
Les intégrateurs géométriques forment une classe de schémas numériques spécialement conçue pour préserver les propriétés géométriques des équations telles que la conservation de l'énergie, et les lois de conservations associées aux symétries. Ces propriétés sont d'une importance cruciale pour les applications que nous considérons dans ce projet de recherche et sont associées à des structures mathématiques fondamentales issues de la géométrie symplectique et de Poisson.
Malgré le fait que nos applications concernent des domaines différents (dynamique océanique et atmosphérique, élasticité non-linéaire) l'approche mathématiques que nous utilisons pour obtenir le schémas numérique est commune: nous utilisons une version discrète des principes variationnels géométriques sous-jacents à la dynamique.
-Pour le cas des équations différentielles ordinaires (EDO), les intégrateurs géométriques ont déjà été développés et exploités dans de nombreuses directions et forment aujourd'hui un outil incontournable dans plusieurs domaines d'application en systèmes dynamiques et en ingénierie. Parmi ces intégrateurs figurent les intégrateurs variationels et symplectiques.
-Pour les équations aux dérivées partielles (EDP), la situation est bien plus compliquée et il n'existe pas de development systématique analogue à celui des EDO. C'est l'un des buts de ce projet que de développer, implementer, et valider des intégrateurs géométriques pour une classe d'EDP hamiltoniennes.
Les trois thèmes de recherche que nous traîtons sont:
Topic A: intégrateurs numériques géométriques en dynamique océanique et atmosphérique (DOA);
Topic B: dissipation de Casimir dans les systèmes de Lie-Poisson et applications à la DOA
Topic C: intégrateurs géométriques multisymplectiques pour tiges élastiques, plaques avec contact et friction;
Ces thèmes de recherche sont reliés non-seulement par leur formulation géométrique commune mais aussi par le fait que les progrès effectués dans un des thèmes auront des impacts importants sur les progrès des autres thèmes.
- Topic A concerne le développement d'intégrateurs géométriques pour la DOA. Ils sont basés sur la formulation Euler-Poincaré de ces modèles, généralisant l'idée initiale de V. Arnold. L'approche que nous utilisons consiste à reformuler ces modèles comme équations d'Euler-Poincaré sur un groupe de Lie de dimension finie, qui approxime le groupe de difféomorphismes. Cela produit un intégrateur symplectique qui admet une version discrète des théorèmes de circulation et qui est valide sur des maillages non-structurés.
- Topic B concerne le développement et l'étude d'un nouveau type de dissipation des fonctions de Casimir pour les systèmes Euler-Poincaré, récemment proposé par F. Gay-Balmaz and D. Holm. Dans le cas des goupes de difféomorphismes, ce type de dissipation produit une nouvelle classe de modèles de DOA qui permettent de formuler une paramétrisation des interactions multi-échelles. Nous étudions les intégrateurs géométriques pour ces modèles.
- Topic C concerne le développement d'intégrateurs géométriques en élasticité non-linéaire, en nous focalisant sur les tiges élastiques et plaques, ainsi que sur les problèmes avec contact et friction. Comme précédemment, nous utilisons la formulation variationelle géométrique de ces modèles.