Frontières, numérique, dispersion. – BoND

Ce projet est centré sur les problèmes d'équations aux dérivées partielles d'évolution dans lesquelles la dispersion est dominante, par rapport à d'autres phénomènes comme la diffusion. Il est motivé par des applications physiques dans lesquelles la diffusion est en effet négligeable et l'énergie totale est donc, dans une certaine mesure, conservée, ainsi que par des considérations numériques qui concernent l'approximation d'équations hyperboliques avec le moins de diffusion numérique possible. Les équations dispersives typiques qui sont visées sont, entre autres, l'équation de Korteweg-de Vries, les équations de Schrödinger non linéaires, de Kadomtsev-Petviashvili, de Kawahara, et celles de Davey-Stewartson, mais aussi les systèmes plus complexes d'Euler-Korteweg pour les fluides capillaires et le modèle de Green-Naghdi pour les vagues. Toutes ces équations et ces systèmes sont considérés sous la forme qu'on appelle «généralisée», c'est-à-dire avec des non-linéarités quelconques (pas forcément algébriques), si bien que l'on ne peut pas se reposer sur la notion d'intégrabilité. De plus, ce projet entend traiter des problèmes dans lesquels les frontières jouent un rôle important, qu'elles soient « physiques » comme les frontières fixes de type paroi ou extrémités de tuyaux pour des écoulements de fluides, ou que ce soient des frontières artificielles introduites par exemple pour des besoins numériques, ou encore des frontières mobiles comme les ondes de choc dans les fluides compressibles ou la surface libre de fluides incompressibles soumis à la gravité (océans notamment). Si le projet ne contient pas d'analyse numérique au sens strict (comme démontrer la convergence de méthodes numériques), les question numériques y sont cependant omniprésentes, avec la volonté des partenaires de développer des méthodes numériques innovantes et de comprendre, analyser certaines de leurs propriétés qualitatives. D'où le nom du projet.

L'une de ses originalités est que, pour diverses raisons, il se situe à l'interface entre les équations aux dérivées partielles
hyperboliques et dispersives. Une première tâche concerne l'analyse, au niveau continu mais aussi discret, de problèmes dispersifs aux valeurs initiales et au bord. Les problèmes discrets peuvent provenir de l'approximation de problèmes hyperboliques et doivent alors s'appuyer sur une généralisation de la théorie de stabilité de Gustafsson-Kreiss-Sundström. Dans ce cadre, le développement et l'analyse de conditions aux limites artificielles pour les modèles mentionnés ci-dessus est un problème difficile qui fait partie intégrante du projet. Un autre axe est l'analyse qualitative de diverses solutions particulières de ces équations modèles, que nous appellerons «motifs dispersifs». Parmi celles-ci, les ondes périodiques, qui sont des ondes progressives avec un nombre généralement grand de degrés de liberté, et les chocs dispersifs, qui sont des «motifs» non stationnaires. Leur compréhension est étroitement liée à la théorie de la modulation introduite par Whitham dans les années 1970. Pour aller dans cette direction, il est nécessaire de faire de l'analyse asymptotique ; c'est aussi le cas pour l'analyse des trains d'ondes de petite amplitude, autre sujet d'étude du projet. Enfin, d'un point de vue plus appliqué, il s'agira d'obtenir de nouveaux modèles prenant en compte des effets multidimensionnels, par exemple pour les phénomènes remarquables que sont les mascarets et les «roll waves».

Pour résumer et bien que ce soit un peu caché dans ce qui précède, si l'on devait ne retenir qu'un mot pour ce projet, ce serait le mot «stabilité».