Algèbres de von Neumann : structure, classification, rigidité et applications – NEUMANN

Chaque année, une rencontre de deux jours sera organisée. Ces rencontres réuniront les membres du projet pour discuter leur recherche en cours, les problèmes sur lesquels ils travaillent. Ces rencontres seront dans un style informel et tous les participants pourront présenter leur recherche. Elles auront lieu à Lyon, Caen et Paris.

Nous organiserons aussi un workshop international sur quatre jours qui aura lieu à l'UMPA, ENS Lyon, durant la troisième année du projet. Nous inviterons trois conférenciers pléniers étrangers à donner des mini-cours (trois heures chacun) sur des sujets différents portant sur les algèbres de von Neumann, la théorie de représentation des groupes et les probabilités libres. Nous inviterons aussi quelques orateurs à donner des exposés de 50 minutes portant sur leur recherches actuelles. Les jeunes chercheurs (doctorants et post-doctorants) du domaine seront fortement encouragés à participer au workshop.

Nous avons déjà obtenu plusieurs résultats nouveaux et significatifs.

L'un des buts est d'appliquer la théorie des algèbres de von Neumann à des questions ouvertes d'autres domaines.

arxiv.org/abs/1209.5209

arxiv.org/abs/1212.4994

arxiv.org/abs/1212.6425

arxiv.org/abs/1301.4736

arxiv.org/abs/1303.0135

Nous étudions les algèbres de von Neumann provenant de la théorie des groupes, de la théorie des actions de groupes et des probabilités libres. A n'importe quelle action d'un groupe dénombrable discret préservant la mesure sur un espace de probabilités standard, on peut associer l'algèbre de von Neumann "Group measure space construction" de Murray et von Neumann. L'une des questions les plus importantes concernant cette construction est la suivante : quelle information sur le groupe et l'action retient l'algèbre de von Neumann?
Lorsque le groupe est moyennable, le résultat célèbre de Connes montre que l'algèbre de von Neumann ne se souvient que de la moyennabilité et oublie toute l'information du groupe et de l'action. Dans le cas non-moyennable, la situation est beaucoup plus riche et complexe. La théorie de la Déformation/Rigidité introduite par S. Popa il y a une dizaine d'années a permis de montrer des résultats spectaculaires de rigidité/classification concernant l'algèbre de von Neumann "group measure space construction". C'est un domaine de recherche très actif aujourd'hui en algèbres d'opérateurs et analyse fonctionnelle.
D'importants problèmes posés par S. Popa n'ont pas encore été résolus. Nous envisageons de travailler sur ces questions et d'autres problèmes ouverts mettant en relation les algèbres de von Neumann à la théorie ergodique, aux réseaux dans les groupes de Lie semisimples, à la percolation sur les graphes infinis non-moyennables, à la théorie des probabilités non-commutatives, pour n'en citer que quelques uns.
Pour mener à bien ces avancées dans la structure, la classification et la rigidité des algèbres de von Neumann, nous avons réuni des aptitudes et compétences complémentaires : trois mathématiciens spécialisés et formés aux techniques de déformation/rigidité, un mathématicien expert en théorie des probabilités libres et un mathématicien expert en théorie des espaces d'opérateurs.