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Géométrie et transport optimal de mesures – GMT

Résumé de soumission

La courbure de Ricci est importante en géométrie et elle à  récemment été relié à  théorie du transport optimal de mesure. Dans un premier
temps par la démonstration de la conjecture de Poincaré par G.Perelman utilisant le flot de Ricci et mentionnant les travaux de Bakry et
Émery sur la diffusion hypercontractive, puis par les articles de D. Cordero-Erausquin, R.McCann et M.Schmuckenschläger qui importaient
le transport optimal en géométrie Riemannienne en traduisant des propriétés de courbure en termes d'inégalités fonctionnelles.
Enfin grâce à  J.Lott-C.Villani et K.T.Sturm qui ont utilisé le transport optimal avec précision afin de présenter une approche
synthétique de la courbure de Ricci. Cette définition synthétique est non seulement compatible avec la notion usuelle, mais elle
permet également d'étendre certains résultats géométriques à  des espaces admettant une borne inférieure sur la courbure de Ricci
synthétique. Depuis, d'autres passerelles ont été construites depuis la théorie optimale du transport: vers la théorie de Mather-Mañe
en systèmes dynamiques par exemples. Mentionnons aussi R.McCann-P.Topping qui ont fermé la boucle en introduisant du transport optimale
dans le flot de Ricci. Un des aspects géométrique intéressant de cette définition synthétique de courbure de Ricci minorée adaptée aux
espaces métriques mesurés, est sa compatibilité avec la topologie de Gromov-Hausdorff mesurée. Une conséquence notable de cette propriété
est que la limite d'une suite de variétés lisses à  courbure de Ricci minorée au sens usuel est un espace métrique mesuré à 
courbure de Ricci synthétique minorée (on comparera avec le théorème de pré-compacité de Gromov ou les travaux de Cheeger-Coldings).
Cette définition synthétique de courbure de Ricci minorée est cependant difficile à  vérifier, en sorte que jusqu'à  présent les seuls
espaces connues qui la vérifie (de façon satisfaisante) sont ceux dont la géométrie est assez proche de celles d'une géométrie
Riemannienne pour que l'on puisse y imiter ses propriétés ou bien sont des limites de certaines qui le sont, comme les espaces
d'Alexandrov, ou les espaces vectoriels normés de dimension finie. Une autre caractéristique importante du transport optimal est
qu'il permet de retrouver la plupart des des inégalités géométriques déjà  connues et liés à  des inégalités fonctionnelles,
telles l'inégalité isopérimétrique dans l'espace euclidien. Elle a également permis aux spécialiste du transport optimal d'obtenir
quelques nouvelles inégalités, telles que des inégalités de Brascamp-Lieb inverses ou obtenir des constantes optimales d'inégalités de
Sobolev. Toutefois, d'autres problèmes géométriques impliquant des inégalités dans un contexte non-euclidien, telle que l'inégalité
isopérimétrique pour les espaces de Hadamard, qui est encore un problème ouvert en dimension plus grande que quatre, n'ont pas encore
été abordés. La motivation commune des participants à  ce projet est de contribuer à  injecter plus de géométrie dans la théorie du
transport optimale. Notre intention est d'étudier le transport optimal dans des géométries où il n'est pas entièrement compris.
En géométries de Finsler, par exemple, où les résultats ne sont pas pleinement significatif du point de vue géométrique.
Dans les espaces d'Alexandrov certains problèmes de régularités difficiles nous attendent. Pour les géométries sous-riemannienne
nous aimerions une définition de la courbure compatibles avec leur dimension homogène et la croissance volumique. Nous voudrions
également étudier les espaces de Wasserstein de certains espaces métriques, ceux-ci donnant naissance à  de nouvelles géométries
étroitement liées au transport de masse du dit espace dont l'étude même n'est pas sans intérêt.

Coordination du projet

Constantin VERNICOS (UNIVERSITE DE MONTPELLIER II [SCIENCES TECHNIQUES DU LANGUEDOC])

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

I3M UNIVERSITE DE MONTPELLIER II [SCIENCES TECHNIQUES DU LANGUEDOC]

Aide de l'ANR 79 997 euros
Début et durée du projet scientifique : décembre 2011 - 48 Mois

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