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Groupes polonais et Logique continue – Grupoloco

Groupes polonais et logique continue

Ce projet vise en particulier à promouvoir les interactions entre théorie descriptive des ensembles et logique continues, et à développer les applications des idées et méthodes de ces domaines à l'étude de diverses structures mathématiques, avec un intérêt particulier pour les «gros« groupes polonais.

Logique continue, théorie descriptive des ensembles et dynamique topologique

La théorie descriptive des ensembles et la théorie des modèles ont une longue et fructueuse tradition d'interaction, via l'étude des sous-groupes fermés du groupe de permutation des entiers, qui sont aussi les groupes d'automorphismes de structures homogènes. Récemment, Kechris et Rosendal ont utilisé des idées modèles-théoriques pour classifier lesquels de ces groupes (dits «nonarchimédiens«) admettent des amples génériques. Kechris, Pestov et Todorcevic ont aussi établi une connection importante entre théorie des modèles, combinatoire et dynamique topologique, en caractérisant les sous-groupes polonais nonarchimédiens et extrêmement moyennables à l'aide de la théorie de Fraïssé et de la théorie de Ramsey.<br /><br />Il est devenu clair récemment que les techniques et concepts de la théorie des modèles métriques, via le formalisme récent de la «logique continue«, peuvent jouer un rôle similaire dans l'étude de certaines propriétés des groupes polonais généraux. Dans le même ordre d'idées, Tsankov a récemment utilsée des idées issues d'un article d'Olshanskii et des résultats classiques de théorie des modèles pour classifier les représentations unitaires d'une large classe de groupes polonais nonarchimédiens; il y a un espoir que ces résultats puissent être applicables à d'autres «gros« groupes polonais.<br /><br />D'une manière générale, l'objectif de notre projet est de développer des versions «continues« de techniques et concepts classiques de théorie des modèles et de théorie descriptive des ensembles, et de les utiliser pour mieux comprendre les propriétés des gros groupes polonais (groupes d'automorphismes de structures hautement homogènes)

Les techniques employées seront en particulier basées sur des généralisations de notions de théorie des modèles classique au cadre des structures métriques.

Quelques-uns des résultats obtenus par les participants du projet et leurs collaborateurs:

Correspondance entre la stabilité modèle-théorique et les fonctions
faiblement presque périodiques sur les groupes Roeclke précompacts.
Application : tout homomorphisme continu du groupe d'automorphismes d'une structure oméga-catégorique stable dans un groupe polonais est ouvert sur son image.. Autrement dit, les groupes d'automorphismes de telles structures sont totalement minimaux.

Tout groupe Roelcke précompact non archimédien a la propriété (T) (

Tous les groupes d'automorphismes des graphes (simples,
sans boucle) ultrahomogènes dénombrables, dirigés ou non, ont un flot universel métrisable avec une orbite générique.

Tout groupe polonais dont le flot universel minimal est
métrisable et admet une orbite générique admet un sous-groupe fermé
co-précompact et extrêmement moyennable. Pour ces groupes, le flot
universel minimal proximal peut-être décrit explicitement.

Développement d'une version «continue« de la théorie descriptive des ensembles; utilisation de ce formalisme pour démontrer une version topométrique du théorème d'Effros sur la caractérisation des orbites comaigres pour les actions continues de groupes polonais.

Les groupes pleins d'homéomorphismes minimaux d'un Cantor n'admettent pas de topologie polonaise compatible avec la structure de groupe, et sont coanalytiques non boréliens à l'intérieur du groupe d'homéomorphismes de l'espace ambiant; début d'une étude de la cloture du groupe plein (entre autres, caractérisation de l'existence de classes de conjugaison denses).

Les participants du proket développent actuellement un mélange novateur et unique de techniques issues de la théorie des modèles, de la théorie descriptive des ensembles, de la dynamique topologique et de la combinatoire.

Les participants du proket:

- comptent continuer à travailler pour obtenir une preuve (ou un conte-exemple?) de la conjecture selon laquelle tout groupe polonais Roelcke-precompact admet un flot minimal universel métrisable avec une orbite générique.

- travaillent sur une classification des représentations unitaires de certains «gros« groupes polonais.

- analysent des conditions pour la (non)existence d'actions transtives sur des espaces métriques complets de certains gros groups polonais. Ces travaux sont liés à des questions fondamentales sur la façon et la possibilité d'étendre des résultats et des techniques valides pour les groupes polonais nonarchimédiens au contexte des groupes polonais généraux.

Publiés ou acceptés:

1. Itaï Ben Yaacov, The linear isometry group of the Gurarij space is universal, Proceedings of the American Mathematical Society, 142 (2014), no. 7, 2459-2467
2. Itaï Ben Yaacov, Lipschitz functions on topometric spaces, J. Log. Anal. 5 (2013)
3. D. Bilge J. Melleray, Elements of finite order in automorphism groups of homogeneous structures, Contributions to Discrete Mathematics 8, no2 (2013).
4. T. Ibarlucia et J. Melleray, Full group of minimal homeomorphisms and Baire category methods, à paraître à Ergodic Theory and Dynamical Systems .
5. J. Melleray, Extensions of generic measure-preserving actions, à paraître aux Annales de l'Institut Joseph Fourier.
6. L. Nguyen van Thé, More on the Kechris-Pestov-Todorcevic correspondence: precompact expansions, Fund. Math., 222, 19-47, 2013.
7. L. Nguyen van Thé, Universal flows of closed subgroups of S_8, Asymptotic Geometric Analysis, Fields Institute Communications, vol. 68, Springer, 229-245, 2013
8. L. Nguyen van Thé, A survey on structural Ramsey theory and topological dynamics with the Kechris-Pestov-Todorcevic correspondence in mind, 2013, à paraître aux CR Acad. Sci. Serbe.

Soumis

1. I. Ben Yaacov et A. Kaïchouh, Reconstruction of separably categorical metric structures.
2. I . Ben Yaacov et J. Melleray, Grey subsets of Polish spaces.
3. I. Ben Yaacov et J. Melleray,  Isometrisable group actions.
4. I. Ben Yaacov et T. Tsankov, Weakly almost periodic functions, moel-theoretic stability, and minimality of topological groups.
5. D. Evans et T. Tsankov, Free actions of free groups on countable structures and property (T) .
6. J. Jasinski, C. Laflamme, L. Nguyen Van Thé et R. Woodrow, Ramsey precompact expansions of homogeneous directed graphs.
7. J. Melleray, T. Tsankov et L. Nguyen Van Thé, Polish groups with metrizable universal minimal flows.

Ce projet s'intéresse aux interactions entre théorie descriptive des ensembles et logique continue, et aux applications des méthodes de ces domaines à l'étude de diverses structures, en particulier des « gros » groupes polonais.
Les groupes polonais foment la classe de groupes la plus générale qui permette d'appliquer les techniques de théorie descriptive. Typiquement, le groupe de symétries d'un objet séparable est polonais; des exemples essentiels pour nous sont: le groupe S(IN) de permutation des entiers et ses sous-groupes fermés; le groupe unitaire U(l_2) d'un espace de Hilbert séparable de dimension infinie; le groupe d'automorphismes Aut(L) d'un espace probabilisé standard; le groupe d'isométries Iso(U) de l'espace d'Urysohn. Ces groupes exhibent de nombreuses propriétés fascinantes: la propriété de continuité automatique, l'extrême moyennabilité, la précompacité de Roelcke... On pourrait croire ces propriétés pathologiques; mais de nombreux exemples de groupes naturels les satisfont (pour Aut(L), cf [GP07] et [BBM*]; pour U(l_2) et Iso(U), on sait qu'ils sont extrêmement moyennables, cf [GM83] et [Pes02], et on s'attend à ce qu'ils aient la propriété de continuité automatique), et il est donc important d'approfondir notre compréhension de ces propriétés.

Il y a une longue histoire d'interactions entre théorie descriptive des ensembles et théorie des modèles, surtout via l'étude des sous-groupes fermés de S(IN). Kechris et Rosendal [KR07] ont récemment utilisé des techniques de théorie des modèles pour classifier les sous-groupes de S(IN) ayant des amples génériques; dans le même ordre d'idées, Kechris, Pestov et Todorcevic [KPT05] ont établi un lien important entre théorie des modèles, combinatoire et dynamique topologique, en caractérisant les sous-groupes extrêmement moyennables de S(IN) en termes de théorie de Fraïssé et de Ramsey.

Récemment, il est apparu que les techniques et concepts de la logique continue, un formalisme étendant la théorie des modèles classique (voir [BU10] et [BBHU08]), peuvent jouer un rôle similaire pour l'étude des groupes polonais (cf par ex. [M10] et [BBM*]). Similairement, Tsankov a récemment utilisé des idées tirées de Olshanskii [Ols91] pour classifier les représentations unitaires d'une vaste classe de sous-groupes de S(IN), et on peut espérer utiliser les techniques de logique continue pour trouver une classification du même type pour certains gros groupes polonais.

Notre but est de développer des versions « continues » des techniques et concepts de la théorie des modèles classique, et de les utiliser pour améliorer notre compréhension des gros groupes polonais. En particulier, nous souhaiterions;

développer une théorie générale concernant la propriété de continuité automatique et les problèmes de reconstruction;
classifier les représentations unitaires des gros groupes polonais;
développer, et appliquer, une «théorie descriptive des ensembles continue»; une version primitive de cette théorie apparaît dans [BM] et a déjà été appliquée pour obtenir des résultats concernant les groupes polonais.

Des résultats partiels ont déjà été obtenus par les membres du projet. Il nous paraît important d'explorer activement cette direction de recherche. A cet effet, nous identifions trois besoins principaux:
libérer du temps à consacrer à la recherche sur ces questions pour les membres du projet;
développer et populariser ce domaine de recherch;
échanger avec des experts des domaines concernés par notre projet.

Pour le premier point, nous demandons le financement de décharges d'enseignement pour les maîtres de conférences membres du projet. Pour le second, notre idée est de nous rassembler régulièrement pour des groupes de travail et sessions de discussion de deux jours; et organiser deux semaines de concentration, un atelier et une conférence internationale. Enfin, nous demandons un financement pour les voyages des membres du projet, et des visites d'experts internationaux.

Coordination du projet

Julien MELLERAY (CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE RHONE-AUVERGNE) – melleray@math.univ-lyon1.fr

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

ICJ CENTRE NATIONAL DE LA RECHERCHE SCIENTIFIQUE - DELEGATION REGIONALE RHONE-AUVERGNE

Aide de l'ANR 70 000 euros
Début et durée du projet scientifique : décembre 2011 - 48 Mois

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