Designs pour des champs spatiaux aléatoires – DESIRE

Le projet DESIRE concerne la construction statistique de plans d'expériences (localisation de points d'observation, placement de capteurs) pour observer des champs spatiaux. Nos objectifs concernent des domaines applicatifs industriels et scientifiques variés, mais le travail se situe au niveau fondamental et a pour but de déterminer des modélisations appropriées pour divers exemples spécifiques du problème d'observations spatiales et de proposer des algorithmes efficaces pour construire des plans d'expériences pertinents. Afin de démontrer l'intérêt des résultats obtenus nous comparerons nos méthodes avec celles de l'état de l'art sur des problèmes réels, en collaboration avec des partenaires extérieurs au projet.

La pratique usuelle pour construire un plan d'expériences pour observer un phénomène spatial concerne à répartir les points d'observation plus ou moins uniformément sur le domaine admissible. Ceci concerne en particulier les expériences simulées pour lesquelles une expérimentation physique (coûteuse) est remplacée par l'exécution d'un code de calcul (parfois lente, mais plus économique). En milieu industriel, on parle de prototypage virtuel. Le même type d'approche est fréquemment utilisé pour le déploiement de réseaux de capteurs. Dans un même temps, l'incertitude due à l'estimation des caractéristiques statistiques du champ spatial est souvent ignorée. Le projet a pour objectifs (i) de prendre en compte cette incertitude dans la définition de critères d'optimalité de plans d'expériences liés à la précision de la prédiction/interpolation du champ, (ii) de définir des critères équivalents mais plus simples à calculer et qui pourront être optimisés efficacement par des algorithmes spécifiques, (iii) de construire des plans optimaux de façon séquentielle, en prenant en compte des contraintes dynamiques de façon à pouvoir considérer l’application au déploiement de capteurs mobiles. Ce dernier point forme l'objectif ultime du projet. Il correspond à la détermination séquentielle de la localisation optimale d'un réseau de capteurs, ce qui forme un problème de contrôle stochastique à cheval entre commande optimale et inférence statistique.

En termes de modélisation, le champ sera considéré comme la superposition d'une partie déterministe et de la réalisation d'un processus aléatoire (corrélé spatialement). Par rapport à une approche plus classique, paramétrique, cette modélisation présente l'avantage d'une meilleure flexibilité et d'une sensibilité réduite par rapport au choix de la famille paramétrique utilisée. La prédiction en des points non échantillonnés est obtenue de façon explicite par krigeage (Krige, 1951), une méthode désormais classique en statistique spatiale, notamment concernant les applications dans le domaine des expériences simulées depuis les travaux fondateurs de Sacks et al. (1989). Bien que cette technique soit largement utilisée, nous souhaitons explorer plusieurs directions dans lesquelles des améliorations nous paraissent possibles. Cela comprend notamment : (i) une meilleure prise en compte de l'incertitude additionnelle sur les prédictions due à l'estimation des caractéristiques statistiques du champ spatial à partir des mêmes données que celles utilisées pour construire les prédictions, (ii) l'extension de cette correction apportée à la "prédiction de l'incertitude sur les prédiction" au cas d'objectifs locaux, tels que la reconstruction d'une courbe de niveau pour une réponse d'intérêt, ou l'optimisation de cette réponse (par opposition avec l'objectif global consistant à obtenir des prédictions précises sur l'ensemble d'un domaine prédéfini), (iii) l'étude d'une approche alternative pour la modélisation de structure de dépendance à partir de copules.