Transport Optimal et Modèles Multiphysiques de l'Image – TOMMI

L'interpolation entre deux images est un problème classique en analyse d'image, qui trouve des applications dans la récupération de données endommagées ou perdues dans des séquences vidéos issues d'expériences scientifiques. Elle permet aussi de déterminer quel a pu être l'état du système étudié à un instant où aucune mesure n'est disponible.
Les méthodes de recalage d'images ont comme objectif de relier des images d'un même phénomène prises à des instants différents ou par des points de vues différents. Ceci permet de suivre l'évolution d'une zone d'intérêt au cours du temps. En imagerie médicales ce type d'algorithmes a de nombreuses applications.

Parmi les approches développées ces dernières années pour attaquer ces problèmes, les méthodes utilisant les outils du transport optimal ont fait l'objet de nombreuses publications [B03, BB00, BB01, CDPP10, AHT03, HRT10, PPC09] mais à notre connaissance sans prendre en compte de manière satisfaisante les propriétés physiques des objets qui composent l'image. Ces méthodes reviennent à calculer un déplacement d'une image vers l'autre en minimisant la moyenne quadratique des déplacement de chaque pixel. Par conséquent dans cette approche aucune énergie n'est associée à la cohésion des régions de l'image qui pourraient représenter des objets physiques, et certaines de ces régions de l'image de départ peuvent donc être divisées par l'algorithme pour être réassemblées sur l'image finale au bout du chemin optimal. Ceci ne fournit donc pas un chemin interpolant acceptable.

En parallèle, des méthodes eulériennes basées sur une formulation level-set de la méthode de frontière immergée ont permis de modéliser et d'étudier mathématiquement des problèmes de couplages multiphysiques [CM04, B05, CM06, DR06, CMM08, BCM10, MMPR10]. Par exemple le couplage d'une membrane immergée avec le fluide qui l'entoure a été modélisé par un modèle de fluide complexe de type Korteweg. Ces modélisations mènent non seulement à des résultats mathématiques mais aussi à des méthodes numériques performantes au niveau temps de calcul, car elle sont discrétisées sur des grilles cartésiennes et peuvent ainsi bénéficier de solveurs rapides.

Comme une image peut être considérée comme un instantané d'un champ eulérien, ce type de méthodes semble tout à fait bien adapté pour attacher un modèle physique aux objets qui la composent.

Notre groupe comporte des spécialistes de transport optimal, d'analyse d'image et de méthodes multiphysiques, ou de domaines très connectés à ces thèmes précédents, avec lesquels l'interaction est pressentie fructueuse. Dans cette courte introduction nous esquissons quelques points que nous entendons développer dans le cadre de ce projet :

1. Proposer et étudier des modèles de transport optimal généralisé qui attacheraient un modèle physique aux images à interpoler ou à calibrer.
2. Développer des algorithmes et des schémas numériques performants pour ces modèles et les valider sur des benchmarks.
3. Appliquer ces nouvelles techniques à l'analyse d'images et l'assimilation d'images, notamment en océanographie.

L'accomplissement des points ci-dessus aura un impact fort sur les domaines de recherche où le calcul d'une distance entre deux images tenant compte des propriétés physiques de cette image est crucial. Ainsi on peut citer les applications possibles en assimilation de données (et présentes dans ce projet) mais aussi en analyse d'images, restauration de vidéos, optimisation de forme, ...