Analyse spectrale et microlocale d'opérateurs non-autoadjoints – NONAa

Dans de nombreux problèmes provenant de la physique il est nécessaire d'étudier des opérateurs non-autoadjoints : les phénomènes dissipatifs, les amortissements, les résonances quantiques avec décroissance (locale) d'énergie, peuvent être modélisés par un opérateur non-autoadjoint. La compréhension de ces phénomènes demande une description précise du spectre de ces opérateurs dans le plan complexe. Par exemple le temps de vie d'une résonance quantique dépend de la distance au réel du spectre d'un opérateur non-autoadjoint. Récemment l'intérêt pour la théorie spectrale de ces opérateurs s'est accru, motivé initialement par des problèmes d'analyse numérique. Plus récemment encore il est apparu que la puissance de l'analyse microlocale et semiclassique pouvait apporter une aide importante sur ces sujets; mais de nombreuses questions demeurent ouvertes. Notre projet est d'entreprendre une étude systématique de ces sujets en utilisant des résultats avancés provenant de l'analyse fonctionnelle, la géométrie symplectique, l'analyse microlocale, des équations aux dérivées partielles (non)-linéaires et des systèmes dynamiques. Dans beaucoup de situations le spectre d'un opérateur non-autoadjoint est instable si bien qu'il est parfois plus pertinent d'étudier une notion différente: le pseudospectre. Il est remarquable de constater l'étroitesse des liens que cet objet entretient avec l'analyse semiclassique. Nous projetons d'étudier le pseudospectre et ses relations avec le spectre, à la fois d'un point de vue théorique, pour des opérateurs pseudodifférentiels généraux, et dans des cas précis comme les opérateurs de Kramers-Fokker-Planck, de Schrödinger, de Helmholtz et des problèmes aux valeurs propres non-linéaires. L'équation de Helmholtz est une équation aux dérivées partielles fondamentale intervenant dans des études théoriques et numériques pour décrire la propagation d'ondes. L'analyse haute fréquence est analogue au régime semiclassique de la diffusion quantique. On observe de la dissipation quand on tient compte de l'absorption d'énergie par le milieu. Concernant l'équation de Helmholtz dissipative avec un indice d'absorption variable, un problème fondamental est l'approximation du semigroupe de contractions avec une estimation précise de l'erreur. L'analyse haute fréquence de l'équation de Helmholtz dissipative peut être vue comme une première tentative d'appliquer l'analyse microlocale au spectre continu et à la diffusion quantique pour des opérateurs différentiels dissipatifs plus généraux pour lesquels on a peu de résultats. Il est bien connu que des résonances apparaissent près de l'axe réel pour l'opérateur de Schrödinger lorsque le système classique a des trajectoires captées. Dans les cas faiblement captifs, il est possible d'avoir des domaines proche du réel sans résonance, la résolvante vérifiant de « bonnes estimations ». Il en résulte des estimations de décroissance d'énergie locale (ondes) et des effets régularisant (Schrödinger). Ces dernières estimations devraient impliquer des estimations sans perte du type Strichartz sur les groupes des ondes et de Schrödinger. Nous considérons également l'étude des résonances près des seuils. Ces questions sont importantes pour l'étude des champs magnétiques ou des géométries non asymptotiquement plates. Pour les opérateurs périodiques en temps, beaucoup reste à faire. Dans le cas captif, la notion de résonance doit être éclaircie. En relativité générale, à cause des géométries compliquées des trous noirs, nous avons à traiter des opérateurs non-autoadjoints, des trajectoires captés et des problèmes dépendants du temps. L'étude de l'énergie pour l'équation des ondes en un espace-temps donné en relativité générale est considérée comme une première étape pour démontrer la stabilité globale non-linéaire de cet espace-temps. Donc notre étude spectrale au sein de ce projet peut contribuer à la fois à la relativité générale et à la théorie spectrale.