Méthodes de Monte Carlo en grande dimension – BigMC

Les méthodes de Monte Carlo sont des méthodes très communément utilisées pour simuler des échantillons de distribution de probabilités complexes, approcher des fonctionnelles de processus stochastiques, calculer des intégrales dans des espaces de grande dimension ... Néanmoins, ces méthodes sont d'autant moins efficaces numériquement que l'espace de simulation est grand. La simulation dans des espaces de grande dimension ou de dimension infinie (espaces fonctionnels) se pose dans de nombreux domaines d'applications tels que les statistiques (par exemple, dans l'approche bayésienne pour la résolution de problèmes inverses), les mathématiques financières (par exemple, simulation de diffusions modélisant les actifs financiers), la physique statistique (par exemple, simulation de dynamique moléculaire), l'ingéniérie, ... Simuler sous des lois de probabilité sur des espaces de grande dimension, est un problème notoirement difficile. Les méthodes de Monte Carlo classiques telles que les méthodes Population Monte Carlo (PMC), les méthodes de Monte Carlo par chaînes de Markov (MCMC), les méthodes d'acceptation-rejet, doivent être adaptées pour répondre au problème posé par la grande dimension. En effet, des difficultés spécifiques à ce contexte surviennent. Elles concernent par exemple le calcul des ratios d'acceptation, la simulation exacte de lois complexes ou tout simplement l'existence d'une expression explicite de la loi cible. L'objectif de ce programme est de développer des méthodes de Monte Carlo, robustes dans un contexte de grande dimension et de dimension infinie. Pour traiter du problème de la grande dimension, de nouveaux algorithmes s'inscrivant dans la famille des méthodes d'échantillonnage d'importance, et des méthodes Monte Carlo par chaînes de Markov sont proposés. Pour traiter celui de la dimension infinie, des méthodes alliant la discrétisation avec la simulation (échantillonnage d'importance, systèmes de particules) seront développées. Par souci d'efficacité, nous nous intéresserons plus particulièrement à la simulation dans des espaces fonctionnels dans le cadre de la simulation (conditionnelle et non-conditionnelle) de diffusions (éventuellement multivariées) et de la simulation de dynamiques moléculaires. Afin de promouvoir les méthodes de Monte Carlo en grande dimension, nous développerons des librairies logicielles permettant de diffuser les résultats de l'étude dans la communauté scientifique. Les résultats seront validés sur des exemples difficiles issus de l'analyse statistique bayésienne, de l'ingéniérie financière et de la physique statistique. Un atout de ce programme est de mettre en avant les objectifs méthodologiques, en s'appuyant sur les compétences théoriques, de façon à faire émerger des algorithmes génériques suceptibles d'être utilisés dans des domaines d'applications différents. La constitution de l'équipe projet et la variété des domaines d'application couverts par les membres impliqués constituent un atout de ce programme. Cette diversité est un facteur de dynamisme scientifique qui favorise la mise en commun des connaissances propres à chaque domaine. Par ailleurs, l'équipe projet s'appuie, pour partie, sur une expérience réussie de travail collaboratif et a contribué activement à la création d'une communauté de recherche active autour du thème des méthodes de Monte Carlo en région parisienne.