Décomposition de domaines et calculs multi-échelles de singularités dans les structures mécaniques – epsilon

Si l'on essaie de calculer des assemblages de structures comportant de forts contrastes géométriques (couches minces) ou matériels (rigidités très différentes) en utilisant les codes de calculs par éléments finis « du commerce », on se heurte très vite à des problèmes de précision, car la présence de petits (ou de grands) paramètres dans des zones de tailles relatives faibles obligent à mailler très finement dans ces zones alors que les autres parties ne le nécessitent pas. En dessous de certaines valeurs des petits paramètres, on ne peut plus faire confiance au calcul et il faut construire des solutions approchées via d'autres méthodes. La situation est identique dans des structures comportant des singularités géométriques (des coins, par exemple) qui induisent des singularités dans les champs mécaniques. Ces zones à fort gradients nécessitent un traitement spécifique pour y avoir une bonne approximation de la solution. De plus, si l'on s'intéresse à l'amorçage de défauts (fissures ou zones endommagées) au voisinage de ces points singuliers, pour peu que le modèle utilisé contienne une longueur caractéristique petite devant les dimensions de la structure, il faudra faire des calculs très précis dans des zones de la taille de la longueur caractéristique et ici encore les codes de calculs du commerce sont inadaptés. Les méthodes asymptotiques constituent une alternative intéressante sur le plan théorique. Elles sont bien maîtrisées dans des situations comme celle de l'assemblage boulonné, même si une justification mathématique rigoureuse reste à faire. Mais leur mise en œuvre pratique se heurte à des difficultés. On peut être amené dans le problème limite à devoir traiter des problèmes en milieu infini avec conditions aux limites à l'infini ou encore à devoir développer des éléments finis d'interface spéciaux. Autrement dit, la mise en œuvre des méthodes asymptotiques ne peut pas se faire à l'intérieur des codes de calcul traditionnels. Il faut développer des outils spécifiques. On se propose de développer dans ce projet une méthode numérique basée sur la décomposition de domaines s'inspirant de la méthode des développements asymptotiques. On décomposera donc les structures ci-dessus en sous-domaines, chacun correspondant à une zone et donc à une échelle, avec sa taille d'éléments finis bien adaptée. Un des points clés de l'étude sera de tester quelles sont les conditions de raccordement entre les sous-domaines qui conduisent à des résultats optimaux en termes de précision et de coût de calculs. La qualité des résultats numériques sera doublement testée : (i) d'une part, en comparant les résultats obtenus par la méthode de décomposition de domaines avec ceux fournis par les développement asymptotiques ; (ii) d'autre part, en faisant une étude théorique de vitesse de convergence des algorithmes mis en œuvre.