Structures cellulaires sur les algèbres de Hecke : théorie de Kazhdan-Lusztig, algèbres de Schur, algèbres de Cherednik – CELLULHECKE

Se trouvant au coeur de plusieurs problèmes en algèbre (représentations des groupes réductifs finis ou p-adiques - et des algèbres de Lie, théorie des invariants, bases canoniques des groupes quantiques, algèbres de Cherednik - rationnelles...), en géométrie (singularités des variétés des drapeaux, cohomologie des variétés de Deligne- - Lusztig) et en topologie algébrique (groupes de tresses, théorie des noeuds), la théorie des groupes de réflexions et des algèbres de Hecke a connu récemment de considérables développements. - - Le présent projet vise à éclairer d'un jour nouveau (bien que passant immanquablement par les algèbres de Hecke) les liens entre la théorie des représentations des groupes réductifs finis et celle des groupes quantiques. Grosso modo, on peut dire que la conjecture LLT (Lascoux-Leclerc-Thibon, 1996), démontrée l'année suivante par Ariki, qui établit un lien numérique dans le cas du groupe général linéaire, fut le point de départ des problèmes que nous allons développer ici et sur - lesquels nous travaillerons dans le cadre de ce projet. Dans le cas d'autres types de groupes, de nouvelles conjectures (X. Yvonne) sont venues renforcer la théorie. Le but de ce projet est d'essayer d'intégrer ces conjectures dans un cadre général utilisant les dernières percées - théoriques (algèbres de Hecke à paramètres inégaux, algèbres de Cherednik). Le but poursuivi n'est pas seulement esthétique (unification, explications structurelles de phénomènes numériques) : nous souhaitons aussi (comme tout mathématicien...) progresser dans ces conjectures, les montrer dans un maximum de cas et en récolter les fruits sur le versant représentations - (ordinaires ou modulaires) des groupes réductifs finis . Ces questions sont étudiées dans le Laboratoire de Mathématiques de Besançon depuis seulement 2002 (et la venue de L. Iancu - comme Maître de Conférences invitée) par C. Bonnafé et, depuis 2005, par N. Jacon. ...