– MACADAM

1. Dans de nombreuses situations physiques, on est amené à considérer des objets dont la géométrie présente naturellement plusieurs échelles. Typiquement, à la description macroscopique s'ajoute un niveau de détail microscopique : c'est le cas de bulles de gaz au sein d'un matériau obtenu par fusion, de granulats dans un bloc de béton ou d'aspérités à la surface d'une carrosserie. Les questions auxquelles on souhaite répondre ont trait en particulier aux propriétés mécaniques, électromagnétiques, etc, de ces matériaux. La modélisation mathématique de telles situations consiste le plus souvent en un système d'équations aux dérivées partielles posées dans un domaine (2D ou 3D) représentant la géométrie réelle. Si les aspects théoriques ne sont généralement pas affectés par les inhomogénéités microscopiques, il n'en va pas de même des aspects numériques. En effet, la prise en compte des deux échelles dans un code de calcul (éléments finis, par exemple), impose un raffinement du maillage au voisinage des micro-défauts. Les calculs qui en résultent peuvent devenir très coûteux. Ainsi, seule la description macroscopique de l'objet est le plus souvent conservée dans les codes industriels. On omet alors l'influence des inhomogénéités locales sur le comportement global. Notre objectif est de proposer une méthode numérique qui prenne en compte les deux échelles géométriques, tout en conservant une efficacité raisonnable en temps de calcul. 2. Notre approche se base sur une analyse asymptotique fine de l'équation gouvernant le phénomène en fonction de la taille ? des micro-défauts. La solution limite quand ? tend vers 0 correspond à la solution dans le domaine sans défaut, celle-ci peut être calculée à moindre coût sur un maillage grossier. Dans le cadre de notre projet, la perturbation induite par les micro-défauts est essentiellement concentrée au voisinage de ceux-ci. Précisément, dans un cas modèle, il a été montré que le premier terme correctif consiste en un profil, c'est-à-dire une fonction définie dans un domaine infini adimensionné, intervenant en la variable rapide x/?, i.e. à l'échelle de la perturbation. Cette structure nous suggère une méthode numérique basée sur la superposition de la solution non perturbée et du profil. L'analyse et la mise en œuvre de cette méthode constitue un objectif majeur : les difficultés principales concernent le calcul effectif du profil et l'analyse numérique des performances de l'algorithme. Il s'agit, pour déterminer le profil, de résoudre une équation elliptique posée dans un domaine infini, à bord infini. Nous envisageons trois pistes : l'utilisation d'une méthode d'éléments finis avec troncature, l'introduction d'éléments infinis ou une technique d'équations intégrales de frontière. Cette dernière approche pose des problèmes spécifiques non encore résolus en dimension 2, à cause du potentiel logarithmique. Une fois le profil calculé, il est ajouté à la solution non perturbée dans un patch d'éléments au voisinage du micro-défaut. L'utilisation pratique d'une telle méthode de superposition requiert une estimation précise des différentes erreurs commises et du coût de calcul. Notre travail a été initié lors d'une collaboration avec des mécaniciens. Il s'agit de prendre en compte l'influence des défauts surfaciques sur le comportement à rupture d'une structure en béton. La méthode de superposition multi-échelle présentée plus haut constitue la phase préliminaire de détection de fissure, à laquelle s'adjoint un modèle d'endommagement et de propagation développé précédemment par un des membres du projet. 3. Sur le plan de l'analyse mathématique, nos efforts porteront principalement sur l'analyse asymptotique du problème perturbé. Il s'agit de justifier de manière complète les développements à la base de la méthode numérique de superposition. Nous avons traité en partie le cas modèle de l'opérateur de Laplace avec différentes conditions au bord et envisageons d'étendre les résultats obtenus à u