Méthodes Numériques pour les Equations Cinétiques – MNEC

Notre projet rassemble de jeunes chercheurs en mathématiques appliquées qui proviennent de deux équipes en ``Transport de particules'' et en Analyse des EDP'' au laboratoire MIP de l'université Toulouse III. Ce projet est consacré au développement de méthodes numériques deterministes et leur analyse pour des équations cinétiques. Les domaines d'applications sont nombreux et concernent autant la physique des plasmas (propagation de faisceaux dans un accélérateur, expansion d'un plasma dans le vide), l'astrophysique ou les milieux granulaires. Nous étudions d'un point de vue numérique des modèles cinétiques classiques pour décrire le mouvement de particules (en physique des plasmas) ou de galaxies (en astrophysique). Nous développons alors des méthodes numériques d'ordre élevé conservant certaines propriétés importantes du modèle continu (positivité de la densité, impulsion, énergie, état stationnaire, entropie). Nous reprenons les méthodes habituellement utilisées pour la simulation numérique des opérateurs de collisions et de systèmes hyperboliques et développons des schémas permettant d'obtenir le bon comportement asymptotique (en temps grand ou par rapport à un paramètre physique tendant vers zéro) et la conservation de l'équilibre. L'objectif de ce travail est aussi la préservation de l'ordre élevé de la méthode tout en ayant de bonnes propriétés de stabilités. En effet, la plupart des schémas de conservation de l'équilibre ou asymptotiquement stables (AP) proposés dans la littérature sont au mieux d'ordre deux. Nous souhaitons proposer une approche qui se généralise à n'importe quel ordre et qui permet de traiter les discontinuités du terme source. Nous nous intéressons ensuite à la simulation numérique de modèles collisionnels cinétiques. Par exemple, les simulations numériques de l'équation de Boltzmann sont souvent réalisées à partir de méthodes Monte-Carlo. L'objectif de cette partie du projet est de proposer une alternative fondée sur les schémas spectraux (méthode de type Fourier-Galerkin). Nous donnons un cadre général permettant d'appliquer la méthode spectrale à une large classe d'opérateurs de type Boltzmann. Cette approche permet d'obtenir une grande précision dans l'approximation de la solution de l'équation de Boltzmann mais reste coûteuse en temps de calcul. Nous introduisons alors des algorithmes rapides rivalisant avec les méthodes de type Monte-Carlo en terme d'efficacité (précision/temps de calcul). Nous pourrons étudier enfin plusieurs exemples d'applications des méthodes spectrales. Par exemple, suite aux récents progrès de Laurent Desvillettes et Cédric Villani sur la convergence vers l'équilibre de la solution spatialement non homogène de l'équation de Boltzmann, nous nous intéressons d'un point de vue numérique au comportement de l'entropie relative à l'équilibre (local et global) permettant d'observer différents régimes. La troisième partie est consacrée à l'analyse de schémas volumes finis pour les équations cinétiques. Ce travail permettra également de nombreuses collaborations entre analystes des équations cinétiques et spécialistes de volumes finis. D'une part, nous souhaitons proposer des méthodes originales pour traiter des équations de coagulation et fragmentation. Par exemple, pour l'étude du comportement auto-similaire de la solution, nous effectuons un changement d'échelle adapté en temps et en espace, afin de suivre les variations de la solution sur une grande échelle de temps. Nous reformulons également l'opérateur de coagulation sous la forme d'un opérateur divergentiel avec pour objectif la mise au point de schémas volumes finis qui vont satisfaire des propriétés identiques à celles de l'équation continue. Cette approche permettra de réaliser des simulations numériques d'une grande précision et ainsi d'indiquer des directions de recherches sur l'étude du comportement en temps grand de la solution exacte (existence de solutions auto-similaires, phénomène de ...