Etudes diophantiennes dynamiques et combinatoires de différentes numérations – DyCoNum

Les systèmes de numération tels que les représentations b-adiques ou les fractions continues permettent de représenter les éléments d'un ensemble donné (entiers naturels, réels, complexes, nombres p-adiques, séries entières) de manière unifiée sous une forme combinatoire : leur suite de chiffres. Une question générale est la suivante : peut-on reconnaître le développement de certaines constantes classiques (pi, zeta(3), ln(2)) ou à défaut révéler certaines propriétés combinatoires de ces développements? Pour les nombres algébriques, il existe un principe très général révélant une forte dichotomie : ces nombres devraient avoir une représentation soit triviale (périodique) soit chaotique. Plusieurs conjectures en théorie des nombres entrent dans ce cadre : le développement b-adique d'un nombre algébrique irrationnel satisfait-il à certaines lois vérifiées par presque tout nombre réel (Borel, 1950) ? Un nombre algébrique de degré au moins 3 peut-il avoir des quotients partiels bornés dans son développement en fraction continue (Khintchine) ? Généralement, les développements périodiques caractérisent un sous-ensemble de nombres algébriques (théorème d'Euler-Lagrange). Cependant, si on remplace l'entier b dans un développement b-adique par un nombre algébrique beta, les représentations périodiques sont plus difficiles à caractériser : 1 n'est même plus assuré d'avoir un développement périodique. Un premier intérêt des développements périodiques provient du fait que les nombres sous-jacents sont déterminés par une quantité finie d'information; cela permet d'en déduire de nombreuses propriétés et de les rendre explicites. Un autre intérêt vient des nombreux objets répétitifs qui leur sont associés (systèmes dynamiques auto-induits, pavages). Ils induisent également la construction de structures apériodiques simples et riches (comme la modélisation de quasi-cristaux). Les représentations apériodiques des nombres algébriques sont encore plus mystérieuses. Le principe de dichotomie prédit que ces développements sont chaotiques. En exploitant les systèmes dynamiques sous-jacents aux systèmes de numération (transformation x -> bx mod 1, application de Gauss ...), la théorie ergodique permet de formaliser cette notion de suite de chiffres complexe grâce aux nombres normaux (points génériques pour la transformation). Le principe de dichotomie devient alors : un nombre algébrique est soit périodique, soit générique. A contrario, on considère qu'un nombre est « anormal » s'il est représenté par un développement apériodique mais très régulier (produit par un algorithme simple). Démontrer la transcendance de tels nombres présente ainsi un grand intérêt. Le but de ce projet est de considérer transversalement différents systèmes de numération. On s'intéressera particulièrement aux représentations en base entières, standard et non-standard ; aux beta-numérations et aux représentations en base substitutives ; aux fractions continues et leurs généralisations. Bien que la variété des questions abordées nécessite la maîtrise d'un grand nombre de techniques, notre approche permet d'exhiber des questions générales et des méthodes communes. En premier lieu, nous nous attacherons à unifier les résultats (pour le moment très disparates) entrant dans le cadre du principe de dichotomie. Il s'agit aussi bien de mener des investigations numériques types pour tester certaines conjectures, que d'offrir un cadre conjectural commun et formel grâce à la théorie des systèmes dynamiques, ou d'obtenir des résultats de transcendance à l'aide d'une approche diophantienne générale reposant sur le théorème du sous-espace de W. M. Schmidt. Un autre aspect du projet consiste à caractériser algébriquement les développements périodiques dans différents systèmes de numération, avec un point de vue géométrique et dynamique, inspiré par les propriétés d'auto-similarité associées à la périodicité. Si une telle caractérisation s'avère impossible, on étudiera les propriét...