Nouveaux outils conceptuels pour le calcul scientifique - Applications à l'electromagnétisme – PASSEUR06

1- Contexte scientifique et objectifs du projet. Le calcul approché de solutions du système de Maxwell harmonique en temps, dans un milieu hétérogène, n'est pas abordable actuellement au-delà de 300 000 inconnues, par les méthodes du CEGELY. De plus, les problèmes concrets d'électromagnétisme sont souvent singuliers. En pratique industrielle, on fabrique des objets anguleux, et on en arrondit les angles pour des raisons de sécurité. Les discontinuités de coefficients sont naturelles en modélisation de systèmes biologiques. On développera (a) l'application d'outils d'algèbre et de géométrie à l'algorithmique du calcul scientifique (b) l'analyse des singularités, des asymptotiques et de l'homogénéisation. Les résultats des deux approches seront implémentés dans des éléments de code et amélioreront l'efficacité et la généralité des outils actuels. 2- Description du projet, méthodologie. a. Les méthodes numériques générales d'algèbre linéaire ne sont pas assez performantes pour traiter les problèmes les plus difficiles de la discrétisation des EDP, faute d'utiliser les spécificités des problèmes étudiés. Le projet a pour but de déterminer si l'on peut caractériser de façon algébrique et/ou géométrique des classes de matrices particulières, se prêtant à une algorithmique efficace pour résoudre de grands systèmes linéaires. Deux de ces classes sont déjà très étudiées : les matrices structurées (en particulier de Toeplitz), et les matrices hiérarchiques de Hackbusch. Il s'agira de voir si ces classes sont utilisables pour Maxwell harmonique en milieu hétérogène, et le cas échéant de les adapter. On attaquera les problèmes avec les outils mathématiques les plus variés, la liste suivante n'étant aucunement limitative : i. l'analyse pour voir si certaines classes d'opérateurs compacts dans les espaces de Hilbert admettent une approximation hiérarchique naturelle, et ayant de bonnes propriétés de convergence, ii. la combinatoire et les mathématiques discrètes pour comprendre les structures récursives des matrices hiérarchiques et les arbres qui les décrivent, ainsi que les gains algorithmiques qui caractérisent ces objets, iii. l'algèbre et la géométrie pour passer d'une description expérimentale à une description conceptuelle des propriétés des objets qui nous intéressent, et pour obtenir une interprétation géométrique des propriétés des algorithmes. Nous conjecturons que les algorithmes sont efficaces sur les classes qu'on décrit avec très peu de paramètres, à petite perturbation près. b. On traite systématiquement les singularités en obtenant une description analytique aussi précise que possible de leur comportement local, et en utilisant cette information pour fabriquer de bons espaces d'approximation. On ne connaît pas encore les singularités de la solution de Maxwell harmonique dans un cube homogène, ni celles de div(a grad u)=f dans un demi-plan pour a constant dans deux régions, séparées par une droite coupant le bord du demi-plan. La modélisation de tissus vivants demande des asymptotiques à plusieurs échelles : cellule, tissu, organe et organisme, et les modèles biologiques comportent naturellement de grandes discontinuités entre coefficients : membrane et cytoplasme d'une cellule, structures ou organes distincts. Pour des objets avec angles arrondis, on ne sait pas bien exploiter l'information analytique qui serait connue pour l'angle vif correspondant afin de calculer le champ. Il faudra donc trouver des asymptotiques en électromagnétisme. La stratégie consistera à raffiner les méthodes actuelles, en incluant encore plus d'analyse, en particulier microlocale. Ce sont des problèmes à plusieurs paramètres : au moins un paramètre dépendant de la fréquence et au moins un paramètre géométrique, qui peut être une taille de cellule à homogénéiser, un rapport entre taille de cellule et taille de cytoplasme, un rayon de courbure, etc... et on peut avoir à traiter plusieurs de ces paramètres ensemble et faire entrer égalemen...