Espaces de modules de représentations de groupes de surfaces : espaces de Teichmüller généralisés et géométrie – RepSurfaces

L'objet principal du projet est l'espace des modules M(S,G) des représentations du groupe fondamental d'une surface fermée S dans un groupe de Lie G. Lorsque G est compact (par exemple SU(2)), l'espace des modules correspondant est compact, et muni d'une action ergodique du groupe modulaire. De plus, le choix d'une structure complexe sur la surfaces identifie M(S,G) avec un espace d'objets holomorphes. L'espace M(S,G) est l'espace des phases classiques pour la théorie de jauge 3D. Au début des années 90, plusieurs schémas proposés pour la quantification de M(S,G) ont fait émerger des liens inattendus entre différents domaines des mathématiques : les invariants des 3-variétés, les représentations de groupes quantiques, les géométries algébrique et symplectique. Par ailleurs, dans les années 80, Thurston a mis en évidence l'importance de l'espace de Teichmüller dans la compréhension de la géométrie des variétés de dimension 3. L'espace de Teichmüller est l'une des composantes de l'espace M(S,G) lorsque G=PSL(2,R). Par comparaison avec SU(2), on constate que PSL(2,R) est à l'extrémité opposée du spectre : c'est la forme réelle la plus non-compacte de PSL(2,C). Du point de vue des espaces de modules, ceci a des conséquences importantes : les espaces de Teichmüller ont des caractéristiques très différentes des cas où G est compact. Ils sont non compacts et contractibles, le groupe modulaire agit proprement et le quotient a une interprétation holomorphe. L'espace de Teichmüller lui-même est muni d'une structure complexe naturelle. Il s'avère aussi que l'espace de Teichmüller a une géométrie très riche, dévoilée en particulier par Thurston. Du point de vue des physiciens, l'espace de Teichmüller devrait jouer le rôle de l'espace des phases classique pour la gravité en dimension 2+1. Au cours des dernières années, de nouvelles perspectives sont apparues, partiellement motivées par l'intérêt des physiciens, et l'objectif de ce projet est de donner à nos équipes l'opportunité de participer à ce nouvel élan. Le projet a quatre aspects, que nous allons brièvement décrire. Ces quatre cotés sont en partie indépendants mais aussi en correspondance, ils sont reliés à différentes branches des mathématiques. L'objet central est M(S,G) lorsque G est non compact. A: Les autres composantes. Lorsque G=PSL(2,R), l'espace M(S,G) a d'autres composantes que l'espace de Teichmüller. Actuellement, très peu de choses sont connues sur ces “composantes exotiques”. Dans la première partie du projet, on se propose de comprendre leurs propriétés géométriques. Plus spécifiquement, on est intéressé par leurs compactifications et par l'action du groupe modulaire sur ces composantes. B: Géométrie 3-dimensionnelle des espaces à courbure constante. Un sous-ensemble particulier de M(S,PSL(2,C)), l'ensemble des représentations quasi-fuchsiennes, joue un rôle central en géométrie hyperbolique. Un ensemble similaire joue un role imortant dans l'étude de la géométrie anti-de Sitter. Le second groupe de questions abordées ici est de paramétriser ces sous-ensembles de représentations (quand G=PSL(2,C) ou G=SO(2,2)) par des objets géométriques provenant de la théorie de Thurston (tels que des laminations, etc). Certaines ce ces questions sont anciennes, mais des idées récentes impliquant en particulier l'inclusion de singularitiés – ou “particules” - ouvrent de nouvelles perspectives sur le sujet. C: Quantification des espaces de Teichmüller. Récemment, une algèbre naturelle d'observables a été quantifiée par L. Checkhov et V. Fock. Cette quantification mène à la construction de nouveaux invariants pour les 3-variétés hyperboliques. Cependant, leur relation avc les objets classiques (en particulier le volume hyperbolique) reste obscure. D: Généralisations de la théorie de Teichmüller. On peut décrire la théorie de Thurston-Teichmüller comme un dictionnaire entre différents domaines : les systèmes dynamiques, la géométrie, la combinatoire, les systèmes intégrables. D'une manière assez surprenante, il apparaît maintenant que certaines c omposantes spéciales de M(S,PSL(n,R)) fournissent un dictionnaire similaire. Néanmoins de nombreuses questions restent ouvertes dans ce sujet.