PETITS DIVISE ET RESONANCES EN GEOMETRIE, EDP ET DYNAMIQUE – RESONANCES

Les formes normales sont des outils classiques et puissants dans l'étude des systèmes dynamiques de dimension finie, qui ont récemment été utilisées dans l'étude des équations aux dérivées partielles et (dans une certaine mesure) des structures géométriques. L'utilisation de ces outils rencontre des difficultés liées d'une part, au problème des petits diviseurs et d'autre part aux résonances qui ne sont autres que les obstructions à résoudre les problèmes linéarisés. Dans certains problèmes, la renormalisation géométrique s'avère être un outil puissant. L'objectif du projet est de développer ces techniques et de les appliquer à des problèmes de géométrie, d'équations aux dérivées partielles et de dynamique. Bien que ces problèmes soient de natures diverses, ils sont conceptuellement très liés et leurs solutions bénéficieront grandement de la collaboration de mathématiciens ayant des domaines de compétences complémentaires. Le but du projet RESONANCES est d'organiser une collaboration soutenue entre des personnes réparties en 3 groupes: L'un basé a Nantes ( Popov, Grebert, Mir), un second a Paris (Yoccoz, Avila, Dinh, Eliasson, Fayad, Krikorian) et un troisieme a Toulouse (Stolovitch, Biff, Cheritat, Fauvet, Lombardi). Nous listons ci-dessous quelques problemes importants et difficiles pour lesquels nous pouvons raisonnablement escompter des résultats significatifs, pendant la durée du projet, au travers de travaux conjoints de ses membres: -- La classification analytique des structures géométriques, comme les structures de Cauchy-Riemann singulieres ou non-singulieres, ou bien les structures de Poisson. -- La dynamique des EDP non linéaires et leurs characteristiques géométriques; les cocycles quasi-périodiques. - La rigidité des groupes de difféomorphismes, la dynamique globale et la renormalisation géométrique.