Opérades, Calcul et méthodes de théorie de l'Homotopie en Topologie – OCHoTop

Les principaux exemples d'opérades considérés dans le projet sont les opérades de petits disques qui modélisent des structures d'algèbres homotopiquement commutatives. Notre projet s'appuie sur les résultats de recherches récentes qui utilisent ces opérades pour construire des modèles homotopiques d'espaces de plongements, ainsi que de nouvelles théories d'homologie des variétés, telle l'homologie de factorisation. Nous nous proposons d'explorer des applications de complexes de graphes pour le calcul de l'homotopie de ces modèles opéradiques des espaces de plongements et pour la construction de classes dans ces théories d'homologie opéradiques. Nous comptons aussi étudier l'homotopie d'objets, appelés opérades modulaires, qui sont modelés sur les structures des complexes de graphes, et explorer des applications de ces objets pour l'étude de diagrammes de câblage en neuroscience.

- Définition d'analogues des espaces d'Eilenberg-MacLane pour la cohomologie d'intersection et résolution d'un problème posé par Goresky-MacPherson en 1984 : la représentabilité de la cohomologie d'intersection.
- Description en termes de complexes de graphes de l’homotopie rationnelle des espaces d’applications entre opérades de petits et de l’homotopie rationnelles des espaces de plongements à supports compacts d’une variété dans un espace euclidien.
- Résultat d'invariance pour l'homologie de coHochschild d’une cogèbre différentielle graduée (cette homologie donne un résultat en accord avec une théorie d’homologie définies en termes catégoriques).
- Résultats de comparaisons sur les constructions par chirurgie et par somme d'états de théories quantiques homotopiques des champs (HQFT) de dimension 3 à but asphérique : elles sont reliées par le centre gradué des catégories monoïdales graduées sur un groupe.

L'impact principal et le plus immédiat, que l'on peut attendre de notre projet, sera dans le champ des mathématiques fondamentales.
Le renouveau de la théorie des opérades, initiées dans les années, 1990 a déjà eu un impact profond en mathématiques. Mentionnons le travail de Kontsevich et Tamarkin, sur la quantification par déformation des variétés de Poisson. Ce renouveau a été, en partie, motivé par des idées de Kontsevich sur les applications des complexes de graphes pour l'étude de la cohomologie des espaces de modules et des outres espaces. La dualité de Koszul des opérades, découverte par Ginzburg et Kapranov, fournit en outre des méthodes efficaces pour mener des calculs effectifs en utilisant des opérades.
Nous espérons que notre projet nous permettra d'étendre la portée de ces applications des opérades afin d'obtenir des descriptions combinatoires effectives d'invariants, généralisant le type d'invariants (cohomologiques) étudiés par Kontsevich, qui apparaissent en topologie et en géométrie algébrique.
Plus spécifiquement, mentionnons la relation entre les espaces d'applications opéradiques et les espaces de plongements, qui fournit une généralisation de l'approche de Vassiliev pour l'étude des espaces de noeuds en topologie de basse dimension, ainsi que les applications des opérades pour la définition de l'homologie de factorisation des variétés, et les applications des méthodes de l'homotopie rationnelle pour l'étude des espaces stratifiés. L'idée est que l'on pourrait utiliser ces connexions pour développer de nouvelles applications, dans ces sujets de recherche, des méthodes effectives de la théorie des opérades et de la théorie d'homotopie qui ont été introduites depuis ce renouveau du sujet dans les années 1990.

- David Chataur (avec Daniel Tanré), Natural operations in Intersection Cohomology. Prépublication arXiv:2005.04960 (2020).
- Sylvain Douteau, Homotopy theory of stratified spaces. Algebr. Geom. Topol. 21 (2021), no. 1, pp. 507–541.
- Benoit Fresse (avec Victor Turchin et Thomas Willwacher), On the rational homotopy type of embedding spaces of manifolds in Rn. Prépublication arXiv:2008.08146 (2020).
- Benoit Fresse, Lorenzo Guerra, On a notion of homotopy Segal E-infinity-Hopf cooperad. Prépublication arXiv:2011.11333 (2020).
- Kathryn Hess (avec Brooke Shipley), Invariance properties of co{H}ochschild homology. J. Pure Applied Algebra 225 (2021), no. 2.
- Jens Kjaer, Unstable v1-Periodic Homotopy of Simply Connected, Finite H-Spaces, using Goodwillie Calculus. Prépublication arXiv:1905.05269 (2019).
- Alexis Virelizier (avec Vladimir Turaev), On 3-dimensional Homotopy Quantum Field Theory III: Comparison of two approaches. Int. J. Math. 31 (2020), pp. 1-57.

Ce projet traite de problèmes de topologie, dans le champ des mathématiques fondamentales. Le but général de notre projet est de développer des applications des opérades (un outil algébrique) pour la définition d'invariants associés aux entrelacs, aux variétés et aux espaces stratifiés (des objets classiques de la topologie).

Dans la période récente, des efforts considérables ont été dévolus à l'élaboration et au calcul de tels invariants dans le cadre de la théorie de l'homotopie rationnelle, qui fournit de l'information sur l'homotopie des espaces modulo torsion. Ainsi des recherches sur la théorie des opérades ont conduit, comme résultat notable, à une description de l'homotopie rationnelle des espaces de plongements de variétés de dimension arbitraire en termes de l'homologie de complexes de graphes. Ce résultat donne une généralisation des invariants de Vassiliev classiques des entrelacs, qui correspondent à des classes d'homologie de graphes associé à des plongements du cercle (de dimension 1) dans la sphère de dimension 3. Ces applications s'appuient sur des méthodes de topologie connues comme le calcul de Goodwillie-Weiss, et on doit supposer que la codimension des plongements est suffisamment grande pour assurer la convergence de la méthode.

L'idée principale de notre projet est d'explorer des opérations combinatoires et topologiques sous-jacentes à la définition de nos opérades, ainsi que l'existence de structures algébro-géométriques sous-jacentes à nos objets, afin d'obtenir de nouveaux invariants pour les entrelacs, les variétés et les espaces stratifiés qui permettraient d'aller au delà des limitations des modèles de l'homotopie rationnelle. Dans le cas de la dimension 3, des invariants variés ont été définis en utilisant les méthodes de la topologie quantique. L'idée est que la théorie des opérades pourait à nouveau être utiliser en combinaison avec d'autres méthodes de la topologie afin de produire des versions de dimension supérieure de ces invariants.

Le but ultime est de produire des invariants calculables, qui peuvent refléter de l'information de torsion fine, et qui pourraient nous permettre de gérer des structures topologiques relatives de basse codimension. En outre, on compte explorer des applications potentielles d'opérades généralisées pour la modélisation de diagrammes de câblage en neuroscience et en informatique.

Pour résumer, une opérade est un objet, constitué de collections d'opérations, qui gouverne une catégorie d'algèbres. Les catégories classiques des algèbres associatives, des algèbres commutatives et des algèbres de Lie, par exemple, peuvent être décrites en termes d'opérades. Les principaux exemples d'opérades considérés dans ce projet sont les opérades de petits disques (les E_n-opérades), qui sont utilisées pour modéliser des hiérarchies de structures commutatives à homotopie près, ainsi que des variantes des opérades de petits disques qui apparaissent naturellement dans des problèmes d'algèbre et de topologie.