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Convergence de Gromov-Hausdorff en géométrie kählérienne – GRACK

Limites Gromov-Hausdorff en géométrie kählérienne: de la géométrie riemannienne à la géométrie algébrique et non-archimédienne.

La géométrie kählérienne a connu ces dernières années des avancées spectaculaires, mêlant intimement géométrie algébrique, équations aux dérivées partielles non-linéaires et géométrie riemannienne sur des espaces éventuellement singuliers. Ce projet, qui rassemble des experts reconnus couvrant ce vaste spectre mathématique, s’inscrit dans cette dynamique avec pour ambition de contribuer à plusieurs problèmes majeurs dans le sujet.

Existence, limites et dégénérescences de métriques de Kähler-Einstein: les conjectures de Yau-Tian-Donaldson, Kontsevich-Soibelman et le programme de Song-Tian.

Le problème de Calabi cherche à décrire les variétés complexes compactes admettant une métrique métrique de Kähler-Einstein. Si la réponse est depuis longtemps connue en courbure négative ou nulle, le cas de courbure positive (variétés de Fano) s’est avéré considérablement plus complexe, et a donné lieu à la conjecture de Yau-Tian-Donaldson faisant le lien entre l’existence d’une métrique de Kähler-Einstein sur une variété de Fano et la condition purement algébro-géométrique de K-stabilité. <br />La résolution spectaculaire de cette conjecture par Chen-Donaldson-Sun, et les techniques difficiles et profondes mises en jeu, ont marqué un véritable renouveau dans le sujet, et de nombreux développements de première importance ont ainsi vu le jour ces dernières années. La raison d’être de ce projet a été de constituer un groupe français d’experts reconnus couvrant le large spectre mathématique concerné: géométrie kählérienne (métriques de Kähler-Einstein et à courbure scalaire constante), géométrie riemannienne et analyse globale (convergence de Gromov-Hausdorff et flot de Ricci), théorie du pluripotentiel (fonctions plurisousharmoniques et équations de Monge-Ampère complexes dégénérées), géométrie algébrique (programme du modèle minimal et théorie géométrique des invariants), et, plus récemment, géométrie non-archimédienne (théorie du pluripotentiel sur les espaces de Berkovich). <br />Les variétés de Fano singulières (log-terminales) apparaissent de façon naturelle comme limites (métriques et algébro-géométriques), et un but essentiel du projet est d’étendre à celles-ci la conjecture de Yau-Tian-Donaldson. Un second objectif central est de contribuer à la conjecture de Kontsevich-Soibelman, portant sur le comportement limite en tant qu’espaces métriques d’une dégénérescence maximale de variétés de Calabi-Yau polarisées. Nous espérons enfin faire progresser le programme de Song-Tian, qui crée un lien remarquable entre le flot de Kähler-Ricci et le programme du modèle minimal.

Le coeur de l’activité de ce projet consiste en l’organisation de recontres de type workshop et écoles, au cours desquelles sont abordés les développements cruciaux que le sujet a récemment connu. A travers des mini-cours prodigués aussi bien par des membres du groupe que par des experts internationaux invités pour l’occasion, ceci nous permet d’arriver à une expertise globale, d’attaquer rapidement des problèmes plus raisonnables, et de tenter d’avancer en direction des grandes conjectures visées.
Une des motivations initiales de ce projet a ainsi été d’analyser en détail la résolution de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson par Chen-Donaldson-Sun, tour de force mathématique mettant en oeuvre des techniques très variées, et reposant en particulier de façon essentielle sur la théorie de Cheeger-Colding analysant les limites Gromov-Hausdorff de variétés riemanniennes à courbure de Ricci minorée. Cette approche a été reprise par Datar-Szekelyhidi pour obtenir une version équivariante de la conjecture, qui s’est avérée cruciale pour tester concrètement la condition de K-stabilité et obtenir de nouveaux exemples de variétés de Fano Kähler-Einstein.
Si l’étude détaillée de ces travaux reste bien sûr un aspect essentiel de ce projet, de nouvelles perspectives se sont ouvertes à l’automne 2015, lorsque le coordinateur, Sébastien Boucksom, a obtenu dans un travail en commun avec Robert Berman et Mattias Jonsson une nouvelle démonstration de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, reposant sur une approche variationnelle totalement différente de celle de Chen-Donaldson-Sun, faisant disparaître les limites de Gromov-Hausdorff au profit de l’analyse sur les espaces non-archimédiens de Berkovich. Cette approche flexible semble se prêter plus aisément à diverses généralisations, en particulier au cas des variétés singulières, et se trouve naturellement au coeur de la recherche actuelle d’une partie des membres du projet.

Le principal résultat obtenu à ce stade est l’obtention d’une nouvelle démonstration de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson par le coordinateur, Sébastien Boucksom, et ses collaborateurs Robert Berman et Mattias Jonsson. Reposant sur une approche variationnelle et sur une interprétation non-archimédienne de la K-stabilité, cette nouvelle approche est significativement plus simple que celle de Chen-Donaldson-Sun, et se prête naturellement à diverses généralisations.
Boucksom et Jonsson ont également progressé en direction de la conjecture de Kontsevich-Soibelman. Etant donnée une dégénérescence maximale de variétés de Calabi-Yau polarisées, cette conjecture en décrit la limite au sens des espaces métriques comme une tropicalisation de cette famille, réalisée comme squelette essentiel de l’espace de Berkovich associé. En construisant une compactification «hybride» mélangeant la famille complexe et son espace de Berkovich, Boucksom et Jonsson ont résussi à confirmer cette convergence au niveau des formes volumes associées.
Dans une direction différente, Junyan Cao, seul et en collaboration avec Mihai Paun, a obtenu de nouveaux résultats remarquables sur la structure des variétés à fibré anticanonique nef. Cette classe de variétés, pendant algébro-géométrique de celles à courbure de Ricci semipositive, fait l’objet d’une importante conjecture de Campana-Demailly-Peternell, qui en ramène l’étude à celles des variétés rationnellement connexes et des variétés de Calabi-Yau. Cao a très récemment montré que la fibration d’Albanese de toute variété à fibré anticanonique nef est localement triviale, réduisant ainsi la conjecture au cas des variétés simplement complexes.
Enfin, Philippe Eyssidieux et Vincent Guedj, avec leur collaborateur Ahmed Zeriahi, ont progressé dans la compréhension du comportement en temps long du flot de Kähler-Ricci, en généralisant au cas de modèles minimaux à singularités log-terminales un important résultat de Song-Tian.

La nouvelle démonstration de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson par Berman-Boucksom-Jonsson ouvre de nombreuses perspectives. En particulier, l’interprétation de la K-stabilité via la géométrie non-archimédienne permet d’importer dans ce contexte la théorie du pluripotentiel sur les espaces de Berkovich et la version non-archimédienne de la conjecture de Calabi précédemment établie par Boucksom-Favre-Jonsson. L’extension de cette nouvelle approche au cas de métriques de Kähler-Einstein «tordues» et au cas équivariant sous l’action d’un groupe réductif semblent à portée de main, et font l’objet d’intenses recherches par certains des membres du groupe. La problématique des limites de Gromov-Hausdorff de variétés Kähler-Einstein reste cependant un thématique centrale du projet, en particulier à travers la conjecture de Kontsevich-Soibelman, pour laquelle on peut espérer que le nouveau point de vue développé par Boucksom-Jonsson permette des avancées dans un avenir proche.

S.Boucksom, M.Jonsson. Tropical and non-Archimedean limits of degenerating families of volume forms. J. Ecole Polytechnique 4 (2017), 87-139

S.Boucksom, T.Hisamoto, M.Jonsson. Uniform K-stability and asymptotics of energy functionals in Kähle

Le présent projet se situe à l'intersection entre géométrie algébrique complexe et géométrie riemannienne, le fil conducteur étant l'étude des limites de variétés kählériennes.

La géométrie kählérienne a récemment connu des progrès spectaculaires grâce à la résolution, dans un cas particulier important (le cas «anticanoniquement polarisé»), de la conjecture de Yau-Tian-Donaldson, l'une des plus importantes du domaine.

La diversité des techniques mises en jeu, impliquant géométrique algébrique, analyse complexe, équations aux dérivées partielles non-linéaires, théorie du pluripotentiel et géométrie riemannienne d'espaces singuliers, rendent particulièrement ardue la compréhension de tous les aspects de la démonstration. Mais il est en même temps clair que les nouvelles méthodes introduites sont amenées à jouer un rôle essentiel dans les développements futurs de la géométrie kählérienne, ainsi que l'illustrent les nombreuses rencontres et workshops internationaux consacrés à ces résultats.

Il est donc urgent de constituer un groupe français d'experts dans les différents domaines mis en jeu, afin d'étudier en détail et de développer les conséquences de cette démonstration. C'est l'un des principaux objectifs de ce projet.

Le résultat ci-dessus s'inscrit dans la problématique générale de comparer les compactifications algebro-géométriques d'espaces de modules à leurs pendants riemanniens, où les variétés polarisées sont munies de métriques kählériennes «canoniques». De nombreux problèmes de première importance dans le domaine relèvent de cette même problématique; le programme de Song et Tian sur le flot de Kähler-Ricci, qui implique le nec plus ultra du programme du modèle minimal en géométrie birationnelle, requiert une compréhension plus profonde de la convergence Gromov-Hausdorff à la fois quand le flot rencontre une singularité en temps fini, et quand le temps tend vers l'infini sur un modèle minimal. Dans un autre registre, la conjecture de Ströminger-Yau-Zaslow, inspirée de la symétrie mirroir, a conduit Kontsevich-Soibelman et Gross-Siebert à donner une description conjecturale précise des limites Gromov-Hausdorff des dégénérescences maximales de variétés de Calabi-Yau.

Nous nous proposons d'étudier ces problèmes, qui ont en commun de nécessiter une compréhension profonde de techniques appartenant à la géométrie riemannienne d'une part , et à la géométrie complexe d'autre part. Les membres de notre projet sont des mathématiciens appartenant à ces deux communautés, désireux de s'enrichir mutuellement afin de développer de fructueuses collaborations.

Coordinateur du projet

Sebastien Boucksom (Centre de mathématiques Laurent Schwartz)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

IMT-UPS Institut de Mathématiques de Toulouse - Université Toulouse III Paul Sabatier
CMLS Centre de mathématiques Laurent Schwartz

Aide de l'ANR 234 125 euros
Début et durée du projet scientifique : septembre 2015 - 48 Mois

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