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Etude cohomologique des varietes algebriques – ECOVA

ECOVA

Etude cohomologique des variétés algébriques

Enjeux et objectifs

Ce projet est au croisement de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres. Il a pour but d'étudier une série de problèmes qui sont des conséquences ou des cas particuliers de `conjectures-horizon' (comme les conjectures standard, les conjectures de Hodge et de Tate, diverses conjectures sur les cycles algébriques) et peuvent être grossièrements classifiés selon trois grands axes: <br />- coefficients complexes et l-adiques: cadre absolu (cas partiduliers des conjectures de Tate et de Hodge, conjecture de Mumford-Tate), cadre variationnelle (étude géométrique des lieux de dégénrescence, représentations du groupe fondamental, l-indépendence, variétés de Shimura) <br />- coefficients entiers, finis, adéliques: cadre absolu (obstructions aux variantes entières des conjectures de Tate et de Hodge), cadre variationnelle (représentations du groupe fondamental, semisimplicité modulo-l, maximalité et image ouverte adélique, l-indépendence, variétés de Shimura) <br />- cycles algébriques (applications d'Abel-Jacobi supérieure, aspects entiers et birationnels, étude des zéro-cycles et des points rationnels, motifs mixtes)

Les 60 mois du projet seront structurés autour de trois événements de type conférence (rencontre d'ouverture, rencontre de mi-parcourt et rencontre de cloture) mais l'objectif principal d'ECOVA est de susciter et développer les échanges et collaborations entre les membres du projet et entre les membres du projets et des chercheurs extérieurs via le soutien à des événements plus spécifiques organisés régulièrements (groupes de travail, rencontres courtes, cours invités, séminaires), le financement de missions/invitations, de conférences. Ce mode de fonctionnement doit permettre des avancées constantes et uniformes sur la période du projet.

La production scientifique des membres du projet est remarquable, comme le montre le grand nombre d’articles déjà rédigés et le rayonnement à l’international de ses membres sur la période 01/10/2015-31/03/2017. L’intéraction entre les membres a été constante, que ce soit lors des deux séminaires mensuels qu’ils coorganisent (‘Autour des Cycles algébriques’ et ‘Variétés rationnelles’, où plusieurs membres non-parisiens sont venus parler), des conférences qui ont regroupé plusieurs des membres d’ECOVA, des missions/invitations, de la mise en place de projets communs (groupes de travail, cours invité, conférence au C.I.R.M. en 2018 etc.). Plusieurs collaborations internes ont pris forme, qui devraient donner lieu à des publications cosignées.

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Sur la période 01/10/2015-31/03/2017, 22 preprints ont été rédigés, les membres ont donné plus d'une centaine d'exposés en conférences internationales et dans des séminaires - en France comme à l'étranger.

Ce projet, a l'intersection de la géométrie algébrique et de la théorie des nombres a pour objectif d'étudier certains aspects des liens entre propriétés arithmetico-geometriques et propriétés cohomologiques des variétés algébriques.

Les théories cohomologiques sont l'aboutissement contemporain du classique `principe de linearisation' qui consiste a associer a un objet complexe (une variété algébrique, un groupe) des familles d'objets plus simples (linéaires i.e. des espaces vectoriels ou des modules munis de structures additionnelles), qui capturent une partie intéressante de l'information sur l'objet d'origine mais sont plus facile a manipuler, classifier etc.

La cohomologie abélienne a progressivement emerge dans le cadre de la topologie et de la géométrie complexe au début du vingtième siècle, période ou sont aussi apparus - en liaison avec l'étude des twists en théorie de Galois - les ensembles cohomologiques pointes. Dans les années 50, le developpement de l'algèbre homologique a fourni le cadre conceptuel pour construire systématiquement des théories cohomologiques dans les catégories abéliennes, ce qui a entraine la diffusion de ces techniques dans tous les domaines des mathématiques. En particulier, celles-ci ont joue un rôle prépondérant dans le fulgurant développement de la géométrie algébrique moderne, ou diverses cohomologies de Weil reliées par des isomorphismes de comparaison sont apparues comme des outils puissants. Au début des années 70, ces divers avatars cohomologiques ont été unifies par Grothendieck dans sa fascinante théorie des motifs purs, qui fut ensuite englobée dans la théorie élargie des motifs mixtes.

Ces théories - en partie conjecturelles - ouvrent sur des `conjectures horizons', comme les conjectures de Hodge et de Tate, diverses conjectures sur les cycles algébriques etc. ECOVA se propose d'étudier une série de problèmes dérives de ces `conjectures horizons' et que l'on peut classifier comme grossièrement selon trois grands axes:

- Coefficients complexes et l-adiques: cadre absolu (cas particuliers des conjectures de Hodge et Tate), cadre variationnel (étude géométrique des lieux exceptionnels, représentations du groupe fondamental, l-independence, variétés de Shimura);
- Coefficients entiers, finis, adeliques: cadre absolu (obstructions aux conjectures de Hodge et Tate entieres), cadre variationnel (représentations du groupe fondamental, l-independence);
- Questions sur les cycles algébriques (applications d'Abel-Jacobi supérieures, aspects entiers, birationnels, etude des zéro-cycles et des points rationnels, motifs mixtes).

ECOVA rassemble de jeunes mathematiciens travaillant sur certains aspects de problèmes profonds et difficiles en géométrie arithmétique afin de leur permettre de partager les techniques dont ils disposent, en acquerir de nouvelles, commencer et poursuivre des collaborations. En conséquence, l'organisation de groupes de travail réguliers et de cours invites de niveau post-doctoral le financement des missions et invitations pour collaboration ou la participation a des conférences seront les priorités d'ECOVA. Les 48 mois du projet seront structures autour de trois événements de type conference: une rencontre d'ouverture ou les membres du projet décriront les problèmes mathématiques sur lesquels ils travaillent, une rencontre de mi-projet dans l'esprit école d'ete/conference de recherche et une rencontre de clôture, dont l'objectif sera de présenter les résultats lies au projet dans le cadre d'une audience internationale.

Coordinateur du projet

Madame Anna Cadoret (Centre de Mathématiques Laurent Schwartz)

L'auteur de ce résumé est le coordinateur du projet, qui est responsable du contenu de ce résumé. L'ANR décline par conséquent toute responsabilité quant à son contenu.

Partenaire

CMLS Centre de Mathématiques Laurent Schwartz

Aide de l'ANR 166 400 euros
Début et durée du projet scientifique : septembre 2015 - 48 Mois

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