Algorithme itératif alterné pour les problèmes non hermitiens en grande dimension – ALSnonSYMM

Dans les problèmes de grande dimension, les décompositions de tenseurs offrent un moyen efficace de réduire la complexité des objets manipulés. En physique et en chimie, les tenseurs apparaissent naturellement dans les problèmes à N corps, où le calcul des plus basses valeurs propres d'un Hamiltonien hermitien est crucial. Bien que ces problèmes doivent être résolus avec précision, la complexité croît exponentiellement avec le nombre de particules. Traditionnellement résolus par des méthodes de Monte Carlo ou des ansatz non linéaires complexes, une méthode plus récente appelée "Density Matrix Renormalisation Group" (DMRG) utilise des trains de tenseurs (TT) et est devenue une méthode de pointe pour calculer les valeurs propres basses des problèmes quantiques à plusieurs corps. L’algorithme DMRG est également connu sous le nom de schéma linéaire alterné (ALS) en mathématiques. L'objectif de ce projet est d'établir, d'analyser et de fournir une implémentation open-source d'une version non hermitienne de l'ALS pour les problèmes de valeurs propres. L'inspiration pour ce problème provient des Hamiltoniens transcorrélés (TC), conçus pour contrer les singularités coulombiennes dans les interactions électroniques. Le prix à payer est de résoudre un problème aux valeurs propres non hermitien au lieu de l'original qui est hermitien. Les Hamiltoniens TC ont une représentation TT compacte, et des études préliminaires montrent que les vecteurs propres à droite ont une approximation de faible rang TT, faisant de cette méthode un excellent benchmark pour l'ALS non hermitien.

Le projet est divisé en trois parties :
- stabilité et convergence de l'ALS non hermitien dans un cadre matriciel simple ;
- extension du schéma ALS aux TT, avec un accent sur la stabilité de la procédure de biorthogonalisation en haute dimension et l'adaptativité du rang TT ;
- application de l'ALS non hermitien au problème de valeurs propres TC.

Le principal point à aborder dans le cadre non hermitien est la question de la stabilité de l'algorithme, en particulier dans la gestion des vecteurs propres gauches et droits. C'est une source d'instabilité nouvelle par rapport au cas hermitien où l'ALS a été initialement développé. Une partie significative du projet est consacrée à ce problème. Les remèdes aux instabilités seront d'abord étudiés et évalués dans un cadre simplifié en utilisant des techniques de randomisation si nécessaire. L'instabilité par rapport au nombre de dimensions sera également analysée par la suite.

La convergence de l'algorithme ALS non hermitien sera établie, inspirée par l'analyse dans le cas hermitien. Une attention particulière sera portée au traitement des vecteurs propres gauches et droits, une caractéristique spécifique au cas non hermitien. Dans la méthode TC, comme seuls les vecteurs propres droits sont pertinents, il est nécessaire de faire converger étroitement ces vecteurs. Cela ouvre l'opportunité de réduire le coût computationnel de l'algorithme ALS, bien que cela affecte certainement la convergence de l'algorithme et sa stabilité.

L'adaptation du rang est un autre sujet qui sera abordé dans ce projet, car c'est une caractéristique essentielle de l'ALS dans le cadre hermitien. Cela peut être introduit de deux manières différentes, basées sur une SVD tronquée de la solution du problème local étendu à des paires consécutives de cœurs, ou par une estimation locale du résidu. Bien que la première approche soit la plus populaire dans les codes de chimie quantique, la seconde est généralement plus fiable.

Une fois l'ALS non hermitien bien compris, il sera appliqué à des systèmes électroniques complexes en utilisant la méthode TC. Le problème de chimie quantique présente des spécificités qui doivent être prises en compte dans sa résolution avec le format TT, mais qui ont déjà été résolues dans le cadre hermitien. Ces outils seront donc simplement adaptés au cas nonhermitien.